Übung - Allgemeine gewöhnliche Differentialgleichungen

Code

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
import sympy as sp

Code

plt.rcParams['figure.figsize']=(5,3)

Aufgaben

Aufgabe ADG1: allgemeine und partikuläre Lösung

Zeigen Sie, dass die Funktion $y (x) = C \frac{x}{1 + x}$ die allgemeine Lösung der Differentialgleichung $x (1 + x) y^{'} (x) - y (x) = 0$ ist. Wie lautet die partikuläre Lösung zum Anfangswert $y (1) = 8$ ? Erstellen Sie in Python einen Plot der partikulären Lösung.
Die Aufladung eines Kondensators der Kapazität $C$ ab dem Zeitpunkt $t = 0$ über einen ohmschen Widerstand $R$ auf die Endspannung $u_{0}$ erfolgt nach dem Exponentialgesetz $u_{C} (t) = u_{0} (1 - e^{- \frac{t}{R C}})$ . Skizzieren Sie die Funktion $u_{C} (t)$ . Zeigen Sie, dass diese Funktion eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung $R C \dot{u_{C}} (t) + u_{C} (t) = u_{0}$ ist, die diesen Einschaltvorgang beschreibt. Erstellen Sie in Python Plots der Funktion $u_{C} (t)$ für verschiedene Werte von $C$ und $R$ .

Quellen:

Papula, Band 2, Kapitel IV Gewöhnliche Differentialgleichungen, Übungsaufgaben zu Abschnitt 1, Aufgabe 1
Papula, Band 2, Kapitel IV Gewöhnliche Differentialgleichungen, Übungsaufgaben zu Abschnitt 1, Aufgabe 3

Aufgabe ADG2: Trennung der Variablen

Lösen Sie folgende DGL mit der Methode der Trennung der Variablen und überprüfen Sie jeweils Ihre Ergebnisse am Computer mittels SymPy.

$y \dot{y} = t e^{t}$
$\dot{y} (1 + t^{2}) = t y$

Quellen:

Goldstein, Lay, Asmar, Schneider: Calculus & Its Applications, p.516
Papula: Band 2, p.520

Aufgabe ADG3: Integration exakter DGL

Überprüfen Sie, ob die DGL exakt ist, und lösen Sie das Anfangswertproblem.

$\dot{y} = \frac{- y^{2}}{2 y t + 1}, y (1) = - 2$

Quelle: Bronson: Schaum’s “Differential Equations”, p.36

Aufgabe ADG4: Exaktheit, allgemeine Lösung, Anfangswertproblem

Gegeben ist die Differentialgleichung $y^{'} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$ .

Überprüfen Sie, ob die DGL exakt ist.
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung.
Lösen Sie das Anfangswertproblem zur Anfangsbedingung $y (2) = - 5$ .

Quelle: Bronson: Schaum’s “Differential Equations”, Aufgaben 5.2 und 5.11, S. 33 und 36

Aufgabe ADG5: Anfangswertproblem

Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem $y y^{'} = \cos (2 x), y (0) = - 1$ .

Aufgabe ADG6: Integration exakter DGL

Ist die Differentialgleichung $\dot{y} (t) = \frac{t + \sin (y (t))}{2 y (t) - t \cos (y (t))}$ exakt? Begründen Sie Ihre Antwort. Geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung in impliziter Form an.

Aufgabe ADG7: Quadratischer Luftwiderstand

Ein Auto mit Masse $m$ und Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ bewegt sich nur unter dem Einfluss des als quadratisch von der Geschwindigkeit abhängig angenommenen Luftwiderstands.

Erklären Sie, warum die Geschwindigkeit $v (t)$ des Autos die DGL $\dot{v} (t) = - \frac{c}{m} v (t)^{2}$ erfüllt.
Lösen Sie das Anfangswertproblem und erstellen Sie einen Plot der Lösung in Python für vernünftige Werte der Parameter.

Aufgabe ADG8: Anfangswertproblem

Lösen Sie das Anfangswertproblem

$y^{'} = \frac{- x}{y}, y (0) = 1.$

Quelle: Farlow: Introduction to Differential Equations. Example 3, p. 40f.

Lösungen

Lösung ADG1: allgemeine und partikuläre Lösung

partikuläre Lösung: $y (x) = 16 \frac{x}{1 + x}$ , Siehe Code.
Einsetzen. Siehe Code.

Code

x = np.linspace(1, 10)
y = 16*x/(1 + x)

plt.figure()
plt.plot(x, y,'r')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)

Code

t = np.linspace(0, 10)
R = 1
C = 1
u0 = 1
u = u0*(1 - np.exp(-t/(R*C)))

plt.figure()
plt.plot(t, u,'r')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('u')
plt.grid(True)

Lösung ADG2: Trennung der Variablen

Code

t = sp.symbols('t')
y = sp.symbols('y', cls=sp.Function)

Code

sp.init_printing()
diffeq = sp.Eq(y(t)*y(t).diff(t), t*sp.exp(t))
diffeq

$y (t) \frac{d}{d t} y (t) = t e^{t}$

Code

sp.dsolve(diffeq, y(t))

$[y (t) = - \sqrt{2} \sqrt{C_{1} + t e^{t} - e^{t}}, y (t) = \sqrt{2} \sqrt{C_{1} + t e^{t} - e^{t}}]$

Code

diffeq = sp.Eq(y(t).diff(t)*(1 + t**2), t*y(t))
diffeq

$(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} y (t) = t y (t)$

Code

sp.dsolve(diffeq, y(t))

$y (t) = C_{1} \sqrt{t^{2} + 1}$

Code

sp.init_printing(False)

Lösung ADG3: Integration exakter DGL

Code

sp.init_printing(use_unicode=True)

diffeq = sp.Eq(y(t).diff(t), -y(t)**2/(2*y(t)*t + 1))
diffeq

$\frac{d}{d t} y (t) = - \frac{y^{2} (t)}{2 t y (t) + 1}$

Code

sp.dsolve(diffeq, y(t))

$[y (t) = \frac{- \sqrt{C_{1} t + 1} - 1}{2 t}, y (t) = \frac{\sqrt{C_{1} t + 1} - 1}{2 t}]$

Code

sp.init_printing(False)

Lösung ADG4: Exaktheit, allgemeine Lösung, Anfangswertproblem

ist exakt
$y = C \frac{1}{1 + x^{2}}$
$y = \frac{- 25}{x^{2} + 1}$

Lösung ADG5: Anfangswertproblem

$y (x) = - \sqrt{\sin (2 x) + 1}$

Lösung ADG6: Integration exakter DGL

$\frac{t^{2}}{2} + t \sin (y) - y^{2} = c$

Lösung ADG7: Quadratischer Luftwiderstand

Code

t = np.linspace(0, 60*5) # seconds
v0 = 30               # meters per second
m = 1000              # kg
c = 1.0

v = v0/(1 + c*v0/m*t)

plt.figure()
plt.plot(t, v,'r')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('v')
plt.grid(True)

Lösung ADG8: Anfangswertproblem

ist exakt, $y = \sqrt{1 - x^{2}}$