Übung - Arbeitsintegrale

Code 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
Code 
plt.rcParams['figure.figsize']=(4,4)

Aufgaben

Aufgabe AI1: Weg(un)abhängige Vektorfelder bzw. (in)exakte Differentiale

Gegeben ist das Differential \(\delta f = y \,\text{d}x - x \,\text{d}y\).

  1. Welchem Vektorfeld \(F\) entspricht das Differential \(\delta f\)? Skizzieren Sie das Vektorfeld \(F\).
  2. Ist das Differential \(\delta f\) exakt oder inexakt bzw. das Vektorfeld \(F\) wegunabhängig oder wegabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort mit einer Rechnung.
  3. Berechnen Sie das Integral \(\int \delta f\) entlang des Halbkreises \(x(t) = -\cos(t)\), \(y(t) = \sin(t)\) für \(0 \leq t \leq \pi\) von \((-1, 0)\) nach \((1, 0)\).
  4. Berechnen Sie das Integral \(\int \delta f\) entlang einer anderen Kurve von \((-1, 0)\) nach \((1, 0)\).

Aufgabe AI2: Kraftfeld

Welche Arbeit verrichtet das Kraftfeld \(F(x,y,z)= \begin{pmatrix} xy \\ 1 \\ yz \end{pmatrix}\) an einer Masse, wenn diese längs der Schraubenlinie \(x(t) = \cos(t)\), \(y(t) = \sin(t)\), \(z(t) = t\) für \(0 \leq t \leq 2\pi\) bewegt wird?

Quelle: Papula: Mathematik für Naturwissenschaftler - Band 3, Auflage 6, 2011, p.244, Aufgabe 8.

Aufgabe AI3: Thermodynamik - Ideales Gas

Der Zustandsraum eines Mols eines idealen Gases kann als der positive Quadrant \(\mathbb{R}_+^2\) mit den Koordinatenachsen \(V\) und \(p\) modelliert werden.

Zustandsgrößen:

  • Die Temperatur ist aufgrund der Idealen-Gas-Gleichung \(pV = RT\) für ein Mol durch \(T(V,p)= \frac{pV}{R}\) als Funktion von \(V\) und \(p\) auf dem Zustandsraum gegeben, wobei \(R\) die Gaskonstante ist.
  • Die innere Energie ist die Funktion \(U(V,p)=\frac{3}{2}pV\).
  • Die Entropie ist die Funktion \(S(V,p)=\frac{3}{2}R\ln(pV^{\frac{5}{3}})\).

Das Gas ist anfangs im Zustand \((V_1,p_1)=(1,32)\) und expandiert in den Zustand \((V_2,p_2)=(8,1)\). Berechnen Sie die vom Gas geleistete Arbeit und die vom Gas absorbierte Wärme für folgende Prozesse:

  1. Zuerst wird der Druck des Gases isochor von \(p_1=32\) auf \(p_2=1\) verringert, anschließend wird das Volumen isobar von \(V_1=1\) auf \(V_2=8\) vergößert.
  2. Zuerst expandiert das Gas isotherm zum Volumen \(V_2=8\), danach wird der Druck \(p\) bei konstantem Volumen zu 1 reduziert.
  3. Das Gas expandiert adiabatisch von \((V_1,p_1)=(1,32)\) zu \((V_2,p_2)=(8,1)\).

Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse jeweils mittels der Beziehung \(\Delta U = Q - W\).

Aufgabe AI4: Thermodynamik - Entropiefunktion

  1. Zeigen Sie, dass es sich beim Differential \(\frac{C_V}{T}\,\text{d}T + \frac{R}{V}\,\text{d}V\) um das exakte Differential \(\text{d}S\) einer von \(T\) und \(V\) abhängigen Funktion \(S(T,V)\) handelt.
  2. Bestimmen Sie diese Funktion \(S(T,V)\).
  3. Zeigen Sie, dass Ihr Ergebnis für \(S(T,V)\) bis auf eine additive Konstante der in der vorigen Aufgabe angegebenen Entropiefunktion \(S(V,p)=\frac{3}{2}R\log(pV^{\frac{5}{3}})\) entspricht.

Hinweise: \(S(T,V)\) ist die Entropiefunktion in Abhängigkeit von \(T\) und \(V\) eines Mols eines idealen Gases und gehört zu den thermodynamischen Zustandsgrößen. \(T\): absolute Temperatur, \(V\): Volumen, \(R\): allgemeine Gaskonstante; \(C_V\): Wärmekapazität eines Mols bei konstantem Volumen. Für ein Mol lautet die ideale Gasgleichung \(pV = RT\) und \(C_V=\frac{3}{2}R\).

Quelle: Papula: Mathematik für Naturwissenschaftler - Band 3, Auflage 6, 2011, p.244, Aufgabe 6. Lesen Sie evtl. auf Seite 157f. das Beispiel (1) als Vorbereitung.

Aufgabe AI5: Thermodynamik - ideales Gas

Für ein Mol lautet die ideale Gasgleichung \(pV = RT\). Das Arbeitsdifferential ist \(\delta W = pdV\), und das Wärmedifferential ist \(\delta Q = \frac{5}{2}pdV + \frac{3}{2}Vdp\). Die innere Energie ist \(U=\frac{3}{2}pV\).

Das Gas ist ursprünglich im Zustand \((V_1,p_1)=(8,1)\) und wird in den folgenden zwei Schritten in den Zustand \((V_2,p_2)=(1,32)\) gebracht: zuerst Druckerhöhung bei konstantem Volumen auf \(p=4\), anschließend isotherme Kompression bis zum Volumen \(V_2=1\).

  1. Zeichnen Sie den Gesamtprozess in einem \(p\)-\(V\)-Diagramm ein. In welchem Zustand ist das Gas nach dem ersten Schritt? Welche Temperatur hat es in diesem Zustand? Welche Temperatur hat es im Endzustand?
  2. Berechnen Sie die Arbeit \(W\) und die Wärme \(Q\) in jedem Schritt. Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse in jedem Schritt mittels der Beziehung \(\Delta U = Q - W\).

Aufgabe AI6: Vergleich von Wegen

  1. Berechnen Sie \(\int_{(0,1)}^{(1,2)} (x^2 -y)\,\text{d}x + (y^2 + x)\,\text{d}y\)

    1. entlang einer geraden Linie von \((0,1)\) nach \((1,2)\).
    2. entlang der zwei geraden Linien von \((0,1)\) nach \((1,1)\) und von \((1,1)\) nach \((1,2)\).

  2. Ist das obige Arbeitsintegral wegunabhängig oder wegabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Quelle: Schaum’s Outlines: Advanced Mathematics for Engineers and Scientists. Aufgabe 6.10., S. 160f.

Aufgabe AI7: Potentialfunktion

Gegeben ist das Differential \((3y^2 - 12x)\,\text{d}x + (6xy + 1)\,\text{d}y\).

Gibt es eine Potentialfunktion? Wenn ja, bestimmen Sie eine, wenn nein, begründen Sie Ihre Antwort.

Lösungen

Lösung AI1: Weg(un)abhängige Vektorfelder bzw. (in)exakte Differentiale

  1. \(F = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix}\). Siehe Code.
  2. inexakt bzw. wegabhängig, da \(\text{rot}(F) = -2 \neq 0\).
  3. \(s(t)= \begin{pmatrix} -\cos(t)(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix}\), \(\int \delta f = \int_0^\pi \sin^2(t) + \cos^2(t)\,\text{d}t = \int_0^\pi 1\,\text{d}t = \pi\)
  4. z.B. direkte Verbindung mit \(s(t)= \begin{pmatrix} t \\ 0 \end{pmatrix}\) für \(-1 \leq t \leq 1\), \(\int \delta f = \int_{-1}^1 0\,\text{d}t = 0.\)
Code 
x = np.linspace(-1, 1, num=11)
y = np.linspace(-1, 1, num=11)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Vx =  Y
Vy = -X

plt.figure()
plt.quiver(X, Y, Vx, Vy, scale=5)  # für unskalierten Plot verwende units='xy', scale=1
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)

Lösung AI2: Kraftfeld

Siehe Papula: Mathematik für Naturwissenschaftler - Band 3, Auflage 6, 2011, I Vektoranalysis, Übungsaufgaben zu Abschnitt 7, Aufgabe 8: S. 244 und S. 779. Ergebins: \(-2\pi\)

Lösung AI3: Thermodynamik - Ideales Gas

    • Teil (a) isochor: \(Q=-\frac{3}{2}31\), \(W=0\)
    • Teil (b) isobar: \(Q=\frac{5}{2}7\), \(W=7\)
    • Teil (a) isotherm: \(Q=32\ln(8)\), \(W=32\ln(8)\)
    • Teil (b) isochor: \(Q=-36\), \(W=0\)
  3. \(Q=0\), \(W=36\)

Lösung AI4: Thermodynamik - Entropiefunktion

  1. Da \(\text{rot}\begin{pmatrix} \frac{C_V}{T} \\ \frac{R}{V} \end{pmatrix} = 0\), ist das Differential exakt.
  2. \(S(T,V) = C_V\ln(T) + R\ln(V) + C\) mit \(C\) einer Konstanten.

Lösung AI5: Thermodynamik - ideales Gas

  1. \((V,p)=(8,4)\), \(T=32/R\)
    • Teil (a) isochor: \(Q=36\), \(W=0\)
    • Teil (b) isotherm: \(Q=-32\ln(8)\), \(W=-32\ln(8)\)

Lösung AI6: Vergleich von Wegen

  1. 5/3; -2/3 und 10/3
  2. wegabhängig aufgrund der vorherigen Aufgabe

Lösung AI7: Potentialfunktion

Ja, weil exaktes Differential. Potentialfunktion: \(3xy^2 - 6x^2 + y\)