Übung - Mehrdimensionale Differentialrechnung

Übung - Mehrdimensionale Differentialrechnung

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sp
from mpl_toolkits.mplot3d.axes3d import Axes3D

Aufgaben

Aufgabe MD1: Wärmeleitungsgleichung

Zeigen Sie, dass die Temperaturfunktion $T(x,t)=\frac{1}{\sqrt{t}}{e}^{-\frac{x^2}{4t}}$ die Wärmeleitungsgleichung $\frac{\partial T}{\partial t}(x,t)=\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}(x,t)$ erfüllt.

Aufgabe MD2: Ableitung, Differential und lineare Approximation

1. Berechnen Sie die Jacobimatrix $f^{\prime }(x,y,z)$ der Funktion $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2:f(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}\cos (x-z)\\ 4z+xy\end{array}\right)$.
2. Berechnen Sie das Differential der Funktion $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}:z(x,y)=e^{-(3x^2+y^2)}$ allgemein und im Speziellen bei $(x_0,y_0)=(1,2)$. Wie groß ist der Unterschied zwischen der linearen Approximation der Funktionswertdifferenz $\text{d}z$ und der wahren Funktionswertdifferenz $\mathrm{\Delta }z$ bei $(x_0,y_0)$, wenn $\text{d}x=0.1$ und $\text{d}y=-0.2$?

Aufgabe MD3: Partielle Ableitungen

1. Ideales Gas: Das Volumen $V$ einer bestimmten Menge eines idealen Gases ist durch die Temperatur $T$ und den Druck $p$ über die Formel $V=0.08\frac{T}{p}$ gegeben. Berechnen und interpretieren Sie $\frac{\partial V}{\partial p}$ und $\frac{\partial V}{\partial T}$ bei $p=20$ und $T=300$.
2. Öffentlicher Personennahverkehr: In einer Vorstadt haben Pendler die Möglichkeit mit dem Bus oder mit dem Zug in das Stadtzentrum zu kommen. Die Nachfrage nach diesen Verkehrsarten variiert mit ihrer Kosten. Sei $B(b,z)$ die Anzahl der Menschen, die mit dem Bus fahren wird, wenn $b$ der Preis für den Bus und $z$ der Preis der Zug sind. Zum Beispiel: Bei $B(4,6)=7000$ nehmen 7000 Pendler den Bus, wenn der Preis den Bus $4$ ist und der Preis für den Zug $6$ ist. Erklären Sie, warum $\frac{\partial B}{\partial b}<0$ und $\frac{\partial B}{\partial z}>0$ gelten.

Aufgabe MD4: Wärmeverlustfunktion - Teil 1

Ein rechteckiges Industriegebäude habe die Länge $x$, die Breite $y$ und die Höhe $z$. In der Tabelle ist der Wärmeverlust pro Tag durch jede Seite des Gebäudes in geeigneten Energieeinheiten pro Quadratmeter Seitenfläche angegeben.

Dach	Ostseite	Westseite	Nordseite	Südseite	Boden
10	8	6	10	5	1

Der gesamte tägliche Wärmeverlust des Gebäudes sei mit Sei $Q(x,y,z)$ bezeichnet.

1. Finden Sie eine Formel für $Q(x,y,z)$.
2. Geben Sie den gesamten täglichen Wärmeverlust an, wenn das Gebäude 30 Meter lang, 12 Meter breit und 9 Meter hoch ist.
3. Berechnen und interpretieren Sie $\frac{\partial Q}{\partial x}(30,12,9)$, $\frac{\partial Q}{\partial y}(30,12,9)$ und $\frac{\partial Q}{\partial z}(30,12,9)$.

Aufgabe MD5: Differential

Die Höhe über Meeresspiegel eines Kraters sei gegeben durch die Funktion $z(x,y)=\sqrt{x^2+4y^2}$ mit $x,y,z$ in Kilometern. Die Temperatur in Fahrenheit sie gegeben durch $T(x,y)=100+2x-\frac{1}{4}{x}^2{y}^2$.

1. Berechnen Sie $\text{d}z$ und $\text{d}T$ allgemein und speziell am Punkt $p=(3,2)$.
2. Berechnen Sie die Gleichung der Tangentialebene an den Krater im Punkt $p$.
3. In welche Richtung steigt die Temperatur am Punkt $p$ am stärksten an?
4. Wie stark ändert sich am Punkt $p$ die Temperatur pro Höhe, wenn man in die Richtung von Aufgabe 3 geht?

Lösungen

Lösung MD1: Wärmeleitungsgleichung

$\frac{\partial T}{\partial t}(x,t)$ berechnet sich mittels Produkt- und Kettenregel zu $e^{-\frac{x^2}{4t}}(-\frac{1}{2\sqrt{t^3}}+\frac{x^2}{4\sqrt{t^5}})$. $\frac{\partial T}{\partial x}(x,t)$ berechnet sich mittels Kettenregel zu $-\frac{1}{2\sqrt{t^3}}x{e}^{-\frac{x^2}{4t}}$ und daraus berechnet sich $\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}(x,t)$ mittels Produkt- und Kettenregel zu $e^{-\frac{x^2}{4t}}(-\frac{1}{2\sqrt{t^3}}+\frac{x^2}{4\sqrt{t^5}})$, sodass $\frac{\partial T}{\partial t}(x,t)=\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}(x,t)$ erfüllt ist.

# using sympy:
sp.init_printing() 

x, t = sp.symbols('x t')
T = 1/sp.sqrt(t)*sp.exp(-x**2/(4*t))
T

${\displaystyle \frac{e^{-\frac{x^2}{4t}}}{\sqrt{t}}}$

sp.simplify( sp.diff(T, t) - sp.diff(T, x, 2) )

${\displaystyle 0}$

sp.init_printing(False)

Lösung MD2: Ableitung, Differential und lineare Approximation

1. $f^{\prime }(x,y,z)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial }{\partial x}\cos (x-z)& \frac{\partial }{\partial y}\cos (x-z)& \frac{\partial }{\partial z}\cos (x-z)\\ \frac{\partial }{\partial x}(4z+xy)& \frac{\partial }{\partial y}(4z+xy)& \frac{\partial }{\partial z}(4z+xy)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-\sin (x-z)& 0& \sin (x-z)\\ y& x& 4\end{array}\right)$

2. $\text{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\text{d}y=e^{-(3x^2+y^2)}(-6x)\text{d}x+e^{-(3x^2+y^2)}(-2y)\text{d}y$, $\mathrm{\Delta }z(1,2)=e^{-(3(1.1{)}^2+(1.8{)}^2)}-e^{-(3(1{)}^2+(2{)}^2)}$, $\text{d}z(1,2)=e^{-7}(-6)0.1+e^{-7}(-4)(-0.2)$. Siehe Code:

def z(x, y):
    return np.exp(-(3*x**2 + y**2))

def dz(x_0, y_0, dx, dy): 
    return -np.exp(-(3*x_0**2 + y_0**2))*6*x_0*dx - np.exp(-(3*x_0**2 + y_0**2))*2*y_0*dy

x_0 =  1
y_0 =  2
dx  =  0.1
dy  = -0.2

print("wahre Differenz =\n {:.10f}".format( z(x_0 + dx, y_0 + dy) - z(x_0, y_0) ))
print("linear approximierte Differenz =\n {:.10f}".format( dz(x_0, y_0, dx, dy) ) )

wahre Differenz =
 0.0001265951
linear approximierte Differenz =
 0.0001823764

Lösung MD3: Partielle Ableitungen

1. $\frac{\partial V}{\partial p}(p,T)=-0.08\frac{T}{p^2}$ und $\frac{\partial V}{\partial T}(p,T)=0.08\frac{1}{p}$. Daher ist $\frac{\partial V}{\partial p}(20,300)=-0,06$ (Volumen wird kleiner bei steigendem Druck und gleichbleibender Temperatur) und $\frac{\partial V}{\partial T}(20,300)=\mathrm{0,004}$ (Volumen wird größer bei steigender Temperatur und gleichbleibendem Druck)
2. $\frac{\partial B}{\partial b}<0$ weil steigende Buspreise bei gleichbleibenden Zugpreisen zu weiniger Verwendern der Busse führen, und $\frac{\partial B}{\partial z}>0$ weil umgekehrt steigende Zugpreise bei gleichbleibenden Buspreisen zu mehr Verwendern der Busse führen.

Lösung MD4: Wärmeverlustfunktion - Teil 1

1. $Q(x,y,z)=10xy+8yz+6yz+10xz+5xz+1xy=11xy+14yz+15xz$
2. $Q(30,12,9)$, siehe Code
3. Siehe Code

def Q(x,y,z):
    return 11*x*y + 14*y*z + 15*x*z

def Q_x(x,y,z):
    return 11*y + 15*z

def Q_y(x,y,z):
    return 11*x + 14*z

def Q_z(x,y,z):
    return 14*y + 15*x

x_0 = 30
y_0 = 12
z_0 =  9

print("gesamter täglicher Wärmeverlust        = {:8.2f}".format(Q(x_0, y_0, z_0)))
print("Wärmeverlust pro Meter Längenänderung  = {:8.2f}".format(Q_x(x_0, y_0, z_0)))
print("Wärmeverlust pro Meter Breitenänderung = {:8.2f}".format(Q_y(x_0, y_0, z_0)))
print("Wärmeverlust pro Meter Höhennänderung  = {:8.2f}".format(Q_z(x_0, y_0, z_0)))

gesamter täglicher Wärmeverlust        =  9522.00
Wärmeverlust pro Meter Längenänderung  =   267.00
Wärmeverlust pro Meter Breitenänderung =   456.00
Wärmeverlust pro Meter Höhennänderung  =   618.00

Lösung MD5: Differential

1. $\text{d}z=\frac{x}{\sqrt{x^2+4y^2}}\text{d}x+\frac{4y}{\sqrt{x^2+4y^2}}\text{d}y$, bei $p$ gilt $\text{d}z=0.6\text{d}x+1.6\text{d}y$. $\text{d}T=(2-0.5x{y}^2)\text{d}x-0.5x^{2}y\text{d}y$, bei $p$ gilt $\text{d}T=-4\text{d}x-9\text{d}y$.
2. $z-z(3,2)=0.6(x-3)+1.6(y-2)$ liefert $5z=3x+8y$
3. $v=\text{grad}(T)(p)=(-4,-9{)}^T$, vgl. bei $p$ gilt $\text{d}T=-4\text{d}x-9\text{d}y$.
4. Bei $p$ ist $\frac{\text{d}T(v)}{\text{d}z(v)}=\frac{-4\cdot (-4)-9\cdot (-9)}{0.6\cdot (-4)+1.6\cdot (-9)}=-5.77$ F/km

x = np.linspace(-4, 4, 100)
y = np.linspace(-4, 4, 100)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

Z = np.sqrt(X**2 + 4*Y**2)
T = 100 + 2*X  - 0.25*X**2*Y**2

fig = plt.figure(figsize=(12,12),dpi=100)
ax  = fig.add_subplot(2, 2, 1, projection='3d')
p   = ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=4, cstride=4, linewidth=0, cmap='PuOr')
ax.view_init(azim = -60,elev = 30)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_title('Höhe')

ax2 = fig.add_subplot(2, 2, 3)
CS = ax2.contour(X,Y,Z, 20)
ax2.clabel(CS, inline=1, fontsize=12)
ax2.set_xlabel('x')
ax2.set_ylabel('y')
ax2.set_title('Höhe')
ax2.grid(True)

ax3  = fig.add_subplot(2, 2, 2, projection='3d')
p   = ax3.plot_surface(X, Y, T, rstride=4, cstride=4, linewidth=0, cmap='coolwarm')
ax3.view_init(azim = -60,elev = 30)
ax3.set_xlabel('x')
ax3.set_ylabel('y')
ax3.set_title('Temperatur')

ax4 = fig.add_subplot(2, 2, 4)
CS = ax4.contour(X, Y, T, 20)
ax4.clabel(CS, inline=1, fontsize=12)
ax4.set_xlabel('x')
ax4.set_ylabel('y')
ax4.set_title('Temperatur')
ax4.grid(True)