Lehrinhalte
In Abbildung 1 sind die behandelten Lehrinhalte und Ihre Abhängigkeiten dargestellt. Die Themen Grundkonzepte und Scientific Computing haben Verbindungen zu allen anderen Themen.
Grundkonzepte
- Mengenlehre: Notation von Mengen und Elementen, Zahlenmengen inkl. \(\mathbb{R}^2\) und \(\mathbb{R}^3\), Intervalle, Quantoren, Summennotation und Indizierung, Folgen und Reihen, Visualisierungen: Zahlenstrahl, Venn-Diagramme, Ebene, Raum
- Mathematische Aussagen und einfache Beweistechniken: Aussagen, Richtungen/Typen von Folgerungen, Äquivalenz(umformungen), Darstellung mit Mengen, (in)direkter Beweis, Gegenbeispiel
- Funktionen: Beschreibung von quantitativen Zusammenhängen als Motivation, Allg. Definition inkl. Definitionsmenge und Bildmenge, reelle Funktionen \(D \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), elementare Funktionen (Geraden, Betrag, Polynome, rationale, trigonometrische, Exponentialfunktion und Logarithmus), Graph, Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division), injektiv, surjektiv, bijektiv, Umkehrfunktionen und Gleichungen, Nullstellen, Polstellen, heuristischer Grenzwertbegriff und Limes-Notation, Stetigkeit, Monotonie, Periodizität, Symmetrie, Skalieren und Verschieben, Hintereinanderschalten
- Anwendungen: Mengen math. formulieren, visualisieren und in Worten beschreiben; Funktionen aus der Physik, Elektrotechnik, etc. vgl. Wikipedia, Definitions- und Lösungsmengen von mathematischen Problemen, Interpretieren von Graphen und Termen
- Computer: arithmetische und geometrische Reihenformel nachrechnen, Graph einer Funktion in einem Bereich plotten inkl. Achsenbeschriftung
Vektorrechnung
- Motivation: Anwendungen von Vektoren als Punkte, Ortsvektoren, Zeiger, Pfeile, Richtungen, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kräfte, Signale, Preise, Listen etc.
- Ebene \(\mathbb{R}^2\) und Raum \(\mathbb{R}^3\) als anschauliche Vektorräume, Definition der Vektorräume \(\mathbb{R}^n\), Koordinaten, Punkte, Orts- und Verbindungsvektoren, Rechenoperationen (+,-, Skalarmultiplikation) und ihre geometrische Bedeutung
- inneres Produkt: Projektion, Rechenregeln, Länge, Winkel, Arbeit, Einheitsvektoren, orthogonale Vektoren, Standardbasisvektoren
- Geraden, Ebenen, Konturlinien, Kreise, Kreuz- und Spatprodukt, Fläche und Volumen, lineare (Un-)Abhängigkeit, lineare Gleichungssysteme für geometrisch interpretierbare Dimensionen
Komplexe Zahlen
- Motivation: Erweiterung des Zahlenraums \(\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}\) ermöglicht das Lösen neuer Probleme vgl. negative Zahlen, Brüche, Diagonale des Quadrats. Anwendungen in der Elektrotechnik, Signalanalyse, Regelungstechnik, Quantenmechanik etc.
- Definition einer komplexen Zahl als \(a + jb\) mit \(j^2 = -1\), komplexe Zahlenebene, Verbindung zu Vektorrechnung im \(\mathbb{R}^2\), Rechnen in kartesischer Darstellung, Betrag und Winkel, Polardarstellung, Eulersche Formel inkl. Definition von \(e^x\) mittels Reihe, Rechnen in Polardarstellung, Wechseln der Darstellung, Drehstreckung bzw. Drehstauchung, Dividieren, Potenzieren, Wurzelziehen und algebraische Gleichungen, Fundamentalsatz der Algebra
- Anwendungen: harmonische Schwingung als Real- oder Imaginärteil von \(e^{j\omega t}\), Überlagerung gleichfrequenter harmonischer Schwingungen, komplexe Widerstände und Wechselstrom/spannung, Winkeladditionstheoreme
- Computer: \(e^{j\varphi}, \cos(\varphi), \sin(\varphi)\) mittels Reihe approximiert berechnen, Wechselstrom und -spannung über der Zeit darstellen
Differentialrechnung
- Motivation: Begriffe wie Änderungsrate, spezifische Wärme, Geschwindigkeit, Preis etc., Anwendungen in allen Naturwissenschaften und in der Technik, Optimierungsproblemen, Lösen von nicht-linearen Gleichungen, lineare Approximation von nicht-linearen Systemen
- geometrische Veranschaulichungen (\(\text{d}y\) vs. \(\Delta y\), Steigung der Tangente), Limes des Differenzenquotienten am Bsp. \(f(x) = x^2\), Ableitung \(f'(x)\) und Differential \(\text{d}y\) einer Funktion, Ableitung elementarer Funktionen (Geraden, Betrag, Polynome, rationale, trigonometrische, Exponentialfunktion und Logarithmus), Rechenregeln (Linearität, Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel)
- Anwendungen: 1-dim. und vektorielle Geschwindigkeit und Beschleunigung, Ableitung von Kurven, Monotonie und Krümmung, Extremwertaufgaben (notwendige und hinreichende Bedingungen), Tangentengleichung, Taylorreihenentwicklung, Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital, implizite Differentiation
- Computer: Berechnung von Sekantensteigungen -> Konvergenz, Visualisierungen von \(f(x)\), \(f'(x)\), \(f''(x)\), der Ableitungen von Kurven. der Taylorreihenentwicklung und von Strom und Spannung im elektrischen Schwingkreis vgl. zu komplexer Wechselstromrechnung
Integralrechnung
- Motivation: Aggregation von Größen (Arbeit = Kraft über Weg = Leistung über Zeit, Fläche, Masse, Volumen)
- Stammfunktionen, Integrationskonstante, Zusammenhang mit Flächenberechnung, Riemann-Summe, Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung, uneigentliche Integrale
- Rechenregeln (Linearität, Grenzen) und Integrationsmethoden (partielle Integration, Substitution, Partialbruchzerlegung)
- Anwendungen: Flächen, Rotationsvolumen, Massen, Bogenlänge, Arbeit, Schwerpunkt, Massenträgheitsmoment, linearer und quadr. Mittelwert etc.
- Computer: Berechnung von Riemann-Summen -> Konvergenz
Differentialgleichungen
- Motivation: Dynamische Gesetze der Naturwissenschaften
- Allg. GDGL 1. Ordnung: Richtungsfeld, Lösungsschar, Anfangswertproblem, Trennung der Variablen, einfache Substitutionen
- Lineare GDGL. 1. Ordnung: Bspe. mit konstante Koeffizienten, homogene und partikuläre Lösungen, Variation der Konstanten
- GDGL 2. Ordnung: Newtons 2. Gesetz, Schwingungsgleichung mit Ansatz \(e^{\lambda t}\)
- Anwendungen: radioaktiver Zerfall, verschiedene elektrische Schaltkreise, Newtons Abkühlgesetz, Freier Fall mit Luftwiderstand, Mischungen, Elektrobatterie, Newtons 2. Gesetz, Schwingungen etc.
- Computer: Verwendung von einfachen numerische Lösungsverfahren (Euler, Heun) und odeint
Scientific Computing
- Python in Thonny mit NumPy, Matplotlib und SciPy
- Zweck: Implementierung und Visualisierung ausgewählter Inhalte am Computer
- nicht prüfungsrelevant im 1. Semester