Die Fläche unter dem Funktionsgraphen ist geometrisch anschaulich und wird daher in der Schule zur Erklärung und zum Einüben der Integralrechnung verwendet. In der Technik findet Integralrechnung aber ganz andere und wichtigere Anwendungen:
All diese Problemstellungen werden mit Hilfe der Integralrechnung gelöst. Sie haben die Gemeinsamkeit, dass man die Summe von Teilen über einen bestimmten Bereich bildet. Integrieren ist also das Aggregieren (Aufsummieren, Addieren) von Teilen (Energieteile, Streckenteile, Trägheitsmomentteile, Flächenteile, Volumenteile, Massenteile, Kostenteile, Wärmeteile etc.) zu einer Gesamtheit (Energie, Strecke, Trägheitsmoment, Fläche, Volumen, Masse, Kosten, Wärme etc.).
Während sich die Differentialrechnung mit der lokalen Änderung (Differenz) einer Funktion beschäftigt, behandelt die Integralrechnung das Zusammenfassen (Summieren) von Teilen. Da man diese Teile als Differenzen darstellen kann, sind Differential- und Integralrechnung eng miteinander verbunden.
Wir beginnen mit den folgenden, typisch mathematischen Fragestellungen, die auf den ersten Blick nichts mit den gerade beschriebenen Problemstellungen zu tun haben: “Was ist die Umkehrung der Differentiation (des Ableitens)? Ist die Umkehrung immer möglich? Ist sie eindeutig oder mehrdeutig? Wie kann man sie berechnen?” Hier ein paar Antworten: Durch das Ableiten erhält man zu einer Funktion \(f\) die Ableitungsfunktion \(f'\). Diese Operation ist eindeutig und (vergleichsweise) einfach zu berechnen. Bei der Umkehrung ist eine Funktion \(f\) gegeben, und man fragt sich, welche Funktion(en) durch Ableiten \(f\) ergeben? Vergleiche Quadrieren und Wurzelziehen. Wenn es eine solche Funktion, nennen wir sie \(F\), gibt, dann erfüllt sie \(F' = f.\) Die Umkehrung nennt man (unbestimmte) Integration, und ein solches \(F\) heißt Stammfunktion oder unbestimmtes Integral von \(f\).
Beispiel: Sei \(f\) die Funktion \(f(x) = 2.\) Eine Stammfunktion ist \(F(x)= 2x.\) Aber auch \(G(x)= 2x + 7\) ist eine Stammfunktion und \(H(x) = 2x - 2{,}96\) und so weiter.
Es gilt allgemein: Jede Funktion \(f\) hat eine ganze Schar von Stammfunktionen, die sich aber nur durch eine additive Konstante (=Integrationskonstante) unterscheiden. Die Graphen dieser Stammfunktionen sind also entlang der \(y\)-Achse verschobene Kopien einer beliebigen Stammfunktion.
Schreibweise: Das unbestimmte Integral einer Funktion \(f\) schreibt man als \(\int f(x) \,\text{d}x = F(x) + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\) der Integrationskonstante.
Stammfunktionen elementarer Funktionen: Dazu müssen wir Ableitungstabellen nur rückwärts lesen und erhalten daraus z. B. Tabelle 1:
| \(f(x)\) | \(F(x) + C\) |
|---|---|
| \(0\) | \(C\) |
| \(1\) | \(x + C\) |
| Konstante \(k\) | \(kx + C\) |
| Potenzfunktion \(x^n\) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) für \(n\neq -1\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\ln \lvert x \rvert + C\) |
| \(e^x\) | \(e^x + C\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x) + C\) |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x) + C\) |
Mehr sogenannte Integraltabellen finden Sie in der Literatur und im Internet, z. B in Wikipedia und in Kapitel V, Abschnitt 5, Tabelle 2 in [1] auf Seite 445.
Nun kommen wir zum Zusammenhang des unbestimmtes Integrals zu den anfangs angeführten Problemstellungen, bei denen über einen bestimmten Bereich integriert wird. Daher die Bezeichnung bestimmtes Integral für solche Problemstellungen.
Beispiel: Sie wollen den Energieverbrauch (kWh) eines elektrischen Geräts zwischen dem Zeitpunkt \(x = a = 8\) Uhr gestern und \(x = b = 17\) Uhr gestern aus dem aufgezeichneten Lastgang (kW) \(f(x)\) bestimmen. Wäre der Energieverbrauch seit der ersten Inbetriebnahme als \(F(x)\) aufgezeichnet worden, könnten Sie den gesuchten gestrigen leicht über \(F(b) - F(a)\) bestimmen. Wir Zerlegen den Gesamtbetrag in eine Summe von (kleinen) Differenzen, um den Zusammenhang zum Lastgang \(f(x)\) zu klären: \[ \begin{aligned} F(b) - F(a) & = F(17) - F(8) = \\ & = [F(17) - F(16{,}5)] + [F(16{,}5) - F(16)] + \cdots + [F(8{,}5) - F(8)] = \\ & = \sum \Delta F, \end{aligned} \] wobei wir auf eine Indexierung der einzelnen Differenzen der Einfachheit halber verzichten. Jede Differenz \(\Delta F\) lässt sich mit der Differentialrechnung approximieren: \(\Delta F \simeq \text{d} F = F'(x)\,\text{d}x\). Der Energieverbrauch \(F\) ist eine Stammfunktion des Lastgangs \(f\), d. h. \(\int f(x) \,\text{d}x = F(x).\) In anderen Worten: Die Ableitung (der Energieverbrauch pro Zeit) \(F'\) ist gleich dem Lastgang \(f\). Somit erhalten wir: \[ \begin{aligned} F(b) - F(a) & = \sum \Delta F = \\ & \simeq \sum \text{d} F = \\ & = \sum F'(x)\,\text{d}x = \\ & = \sum f(x)\,\text{d}x. \end{aligned} \] Je kleiner die Schrittweite \(\text{d}x\), umso besser ist die Approximation. Man kann zeigen, dass die Approximation im Grenzwert \(\text{d}x \to 0\) exakt ist und schreibt dann: \[ F(b) - F(a) = \lim\limits_{\text{d}x \to 0} \sum f(x)\,\text{d}x = \int_a^b f(x) \,\text{d}x. \] Wir fassen zusammen: \[ \begin{aligned} \int f(x) \,\text{d}x & = F(x) \\ \int_a^b f(x) \,\text{d}x & = F(b) - F(a) \end{aligned} \] Die Funktion \(f(x)\) ist dabei der Integrand, \(x\) ist die Integrationsvariable, und die Werte \(a\) und \(b\) heißen obere bzw. untere (Integrations-)Grenzen.
Der Zusammenhang zwischen Stammfunktion \(F\) und Flächen unter den Graphen von \(f\) ist in Abbildung 1 dargestellt.
Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung:
Da die Integralrechnung die Umkehrung der Differentialrechnung ist, gelten für sie auch analoge Rechenregeln: \[ \begin{aligned} \int k \cdot f(x) \,\text{d}x & = k \cdot \int f(x) \,\text{d}x \; \text{für }k \in \mathbb{R} \\ \int f(x) + g(x) \,\text{d}x & = \int f(x)\,\text{d}x + \int g(x)\,\text{d}x \\ \int_a^b f(x) \,\text{d}x & = - \int_b^a f(x) \,\text{d}x \\ \int_a^a f(x) \,\text{d}x & = 0 \\ \int_a^c f(x) \,\text{d}x & = \int_a^b f(x) \,\text{d}x + \int_b^c f(x) \,\text{d}x \end{aligned} \] Die ersten beiden Regeln gelten auch für bestimmte Integrale, also mit Grenzen.
Wir formen die Produktregel der Differentialrechnung zunächst etwas um: \[ \begin{aligned} \left[ f(x) \cdot g(x) \right]' & = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \\ f'(x) \cdot g(x) & = \left[ f(x) \cdot g(x) \right]' - f(x) \cdot g'(x) \end{aligned} \] Die unbestimmte Integration der letzten Gleichung liefert die Formel der partiellen Integration: \[ \int f'(x) \cdot g(x) \,\text{d}x = f(x) \cdot g(x) - \int f(x) \cdot g'(x) \,\text{d}x. \]
Beispiel: Für das Integral \(\int x \cdot e^x \,\text{d}x\) setzen wir \(f'(x) = e^x\) und \(g(x) = x\), weil das Integral von \(e^x\) wieder \(e^x\) ist, aber \(x\) durch Ableiten zu \(1\) wird, sodass das resultierende Integral einfach zu berechnen ist: \[ \begin{aligned} \int x \cdot e^x \,\text{d}x & = x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x \,\text{d}x = \\ & = x \cdot e^x - e^x + C = \\ & = e^x (x - 1) + C \end{aligned} \]
Die Substitution entspricht in der Differentialrechnung der Kettenregel. Sie kann auf zwei Arten durchgeführt werden:
Nach der Substitution des Integranden und des Differentials der Integrationsvariablen erhält man ein Integral in der neue Integrationsvariablen. Dessen Lösung (Stammfunktion) wird anschließend wieder auf die alte Integrationsvariable rücksubstituiert. Bei bestimmten Integralen kann man dann die ursprünglichen Grenzen einsetzen. Alternativ können die Grenzen mitsubstituiert und vor der Rücksubstitution in die Lösung eingesetzt werden.
Beispiel: Zur Berechnung des bestimmten Integrals \(\int_0^{\sqrt{\pi}} x \cdot \cos(x^2) \,\text{d}x\) führen wir die Substitution \(u(x) := x^2\) durch. Das Differential ergibt sich zu \(\text{d}u = 2x\,\text{d}x.\)
Nicht jede partielle Integration und nicht jede Substitution führt zu einem einfacheren Integral!
Oft will man ein Integral von der Form \(\int f(ax + b)\,\text{d}x\) mit Konstanten \(a\) und \(b\) lösen, von dem man die Stammfunktion von \(f(x)\) als \(\int f(x)\,\text{d}x = F(x)\) kennt. Die Substitution \(u(x) = ax + b\) liefert dann immer \[ \int f(ax + b)\,\text{d}x = F(ax + b)\frac{1}{a}. \] Diese Formel ist schneller als die ausführliche Substitution.
Beispiel: \(\int e^{-3x}\,\text{d}x = e^{-3x}\frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}e^{-3x}\)
Diese Methode lässt sich auf Integrale anwenden, deren Integranden echt gebrochen rationale Funktionen sind. Dabei wird ein Bruch in eine Summe von kleineren Brüchen zerlegt, die einfach zu integrieren sind.
Beispiel: Quelle: [1] Seite 472ff. Der Integrand des Integrals \[ \int \frac{2x^3 - 14x^2 + 14x + 30}{x^2 - 4} \,\text{d}x \] ist nicht echt gebrochen rational, da der Grad des Zählerpolynoms nicht kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist. Polynomdivision liefert \[ \frac{2x^3 - 14x^2 + 14x + 30}{x^2 - 4} = 2x - 14 + \frac{22x - 26}{x^2 - 4} \] Das Integral ist somit gleich der Summe \[ \int 2x - 14 \,\text{d}x + \int \frac{22x - 26}{x^2 - 4} \,\text{d}x. \] Das erste integral ergibt \(x^2 - 14x\). Das zweite zerlegen wir in seine Partialbrüche. Dazu bestimmt man zuerst die Nullstellen des Nenners \(x^2 - 4\): \(x_1 = 2\) und \(x_1 = -2\) sind jeweils einfache Nullstellen. Als solche liefern sie folgende Partialbrüche: \[ \begin{aligned} \frac{22x - 26}{x^2 - 4} & = \frac{A}{x - x_1} + \frac{B}{x - x_2} = \\ & = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2} \end{aligned} \] Dabei sind \(A\) und \(B\) noch unbekannte Konstanten. Multiplikation mit dem Hauptnenner \((x - 2)(x + 2) = x^2 - 4\) ergibt die Gleichung \[ 22x - 26 = A(x + 2) + B(x - 2), \] die für alle \(x\) gilt, insbesondere für die Nullstellen. Setzt man \(x_1\) in die Gleichung ein, erhält man \(A=4{,}5\). Einsetzen von \(x_2\) gibt uns \(B=17{,}5\). Damit können wir das zweite Integral lösen: \[ \begin{aligned} \int \frac{22x - 26}{x^2 - 4} \,\text{d}x & = \int \frac{4{,}5}{x - 2} \,\text{d}x + \int \frac{17{,}5}{x + 2} \,\text{d}x \\ & = 4{,}5 \ln |x - 2| + 17{,}5 \ln |x + 2| \end{aligned} \]
Allgemeine Vorgehensweise bei rein reellen Nullstellen:
zur Bestimmung der Konstanten \(A_k\) können nach der Multiplikation mit dem Hauptnenner beliebige \(x\)-Werte eingesetzt werden, z. B. die Nullstellen. Man erhält ein lineares Gleichungssystem für die Konstanten. Alternative Methoden zur Bestimmung der Konstanten und den Fall von komplexen Nullstellen findet man z. B. in Wikipedia.
Das bestimmte Integral \[A = \int_a^b f(x) \,\text{d}x \] ergibt die Fläche unter dem Graphen der Funktion \(f(x)\) zwischen \(x=a\) und \(x=b.\) Das sogenannte Flächenelement \(\text{d}A := f(x) \,\text{d}x\) bezeichnet die aufsummierten Flächenteile.
Lässt man zwischen \(x=a\) und \(x=b\) die Funktion \(f(x) \geq 0\) um die \(x\)-Achse rotieren, generiert man ein Rotationsvolumen der Größe \[ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \,\text{d}x. \] Das Integral aggregiert scheibenförmige Volumenelemente \(\text{d}V := \pi [f(x)]^2 \,\text{d}x\) mit Radius \(f(x)\), Boden/Deckfläche \(\pi [f(x)]^2\) und Dicke \(\text{d}x\), d. h. \(V = \int \text{d}V.\)
Die Bogenlänge ist die Länge des Graphs einer Funktion \(f(x)\) zwischen zwei Grenzen \(x=a\) und \(x=b\). Sie kann durch Aufsummieren der Bogenlängenelementen \(\text{d}s := \sqrt{(\text{d}x)^2 + (\text{d}y)^2} = \sqrt{(\text{d}x)^2 + (f'(x)\text{d}x)^2} = \sqrt{1 + f'(x)^2}\,\text{d}x\) berechnet werden. Die gesamte Bogenlänge zwischen \(x=a\) und \(x=b\) ist daher \[ s = \int_a^b \text{d}s = \int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2} \,\text{d}x. \]
Die Mantelfläche einer zwischen \(x=a\) und \(x=b\) um die \(x\)-Achse rotierenden Funktion \(f(x) \geq 0\) kann mit dem Integral \[ M = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + f'(x)^2} \,\text{d}x \] berechnet werden. Die Argumentation ist ähnlich aber etwas komplizierter, siehe z. B. [1] Kapitel V, Abschnitt 10.5. Das Mantelflächenelement ist daher \(\text{d}M := 2\pi f(x) \sqrt{1 + f'(x)^2} \,\text{d}x.\)
Der Schwerpunkt des Rotationskörpers einer zwischen \(x=a\) und \(x=b\) um die \(x\)-Achse rotierenden Funktion \(f(x) \geq 0\) liegt auf der \(x\)-Achse und hat die \(x\)-Koordinate \[ x_S = \frac{\pi}{V} \int_a^b x \cdot [f(x)]^2 \,\text{d}x. \]
Massenberechnungen können durchgeführt werden, indem Massenelemente \(\text{d}m := \rho(x) \,\text{d}V\) zu einer Gesamtmasse \[ m = \int \text{d}m = \int \rho(x) \,\text{d}V \] aufsummiert werden.
Das Massenträgheitsmoment \(J\) eines Körpers bzgl. einer gegebenen Drehachse ist definiert als das Integral der Massenträgheitsmomentelemente \(\text{d}J := r^2 \,\text{d}m\): \[ J = \int \text{d}J = \int r^2 \,\text{d}m. \] Dabei bezeichnet \(r\) den (kürzesten) Abstand des Massenelements \(\text{d}m\) zur Drehachse. Der Satz von Steiner besagt, wie sich das Massenträgheitsmoment \(J_S\) bzgl. einer Drehachse durch den Schwerpunkt zum Massenträgheitsmoment \(J_P\) bzgl. einer dazu parallelen Drehachse verhält: \(J_P = J_S + md^2\). Dabei bezeichnet \(m\) die Masse des Körpers und \(d\) den Abstand der parallelen Drehachsen.
Wir betrachten eine 1-dimensionale Bewegung (Zug auf Schienen, vertikale Steig-Fall-Bewegung) mit Ortskoordinate \(x\). Die von einer im Allgemeinen ortsabhängigen Kraft \(F(x)\) verrichtete Arbeit \(W\) entlang des Weges von \(x = a\) nach \(x = b\) ist definiert als das Integral \[ W = \int_a^b F(x) \,\text{d}x. \]
Der (lineare) Mittelwert \(\overline{y}_{\text{linear}}\) einer Funktion \(y(x)\) zwischen \(x = a\) und \(x = b\) mit \(b > a\) ist definiert als \[ \overline{y}_{\text{linear}} = \frac{1}{b - a} \int_a^b y(x) \,\text{d}x, \] und ihr quadratischer Mittelwert \(\overline{y}_{\text{quad.}}\) ist definiert als \[ \overline{y}_{\text{quad.}} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \int_a^b y(x)^2 \,\text{d}x}. \] Für Anwendungen dieser Mittelwerte in Mechanik und Elektrotechnik siehe [1] Kapitel V, Abschnitt 10.7.
Als uneigentliche Integrale bezeichnet man Integrale, deren Integrationsintervall unendlich ist oder eine Polstelle berührt.
Beispiel: Wie viel Energie benötigt es, um einen kleinen Körper (z. B. Sie) der Masse \(m\) gegen die Gravitationskraft eines sehr großen Körpers (z. B. Erde) der Masse \(M\) unendlich weit weg zu bringen? Die Gravitationskraft \(G\) zwischen den Körpern hängt von ihrem Abstand \(r\) ab und hat den Absolutbetrag \(G(r) = \gamma \frac{mM}{r^2}\), siehe Wikipedia. Anfangs befinden sich die Körper im Abstand \(r_0\). Wir können die benötigte Energie als Arbeit entlang des unendlich langen Weges von \(r = r_0\) bis \(r = \infty\) berechnen. Allerdings ist \(\infty\) keine reelle Zahl! Daher betrachten wir zuerst das Integral von \(r = r_0\) bis \(r = r_1 \in \mathbb{R}\) und betrachten anschließend vom Ergebnis den Grenzwert \(r_1 \to \infty\): \[ \begin{aligned} \int_{r_0}^{r_1} G(r)\,\text{d}r & = \gamma mM \int_{r_0}^{r_1} \frac{1}{r^2} \,\text{d}r = \\ & = \gamma mM \int_{r_0}^{r_1} r^{-2} \,\text{d}r = \\ & = \gamma mM \frac{r^{-1}}{-1} \Biggr|_{r_0}^{r_1} = \\ & = \gamma mM \left[ -\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_0} \right] \\ \lim\limits_{r_1 \to \infty} \gamma mM \left[ \frac{1}{r_0} - \frac{1}{r_1} \right] & = \frac{\gamma mM}{r_0} \end{aligned} \]
Allgemeine Vorgehensweise:
Wir betrachten ein Objekt (z.B. ein Fahrzeug oder ein fallender Stein), das sich nur in eine Richtung bewegt und eine konstante Beschleunigung \(a\) hat. Wir suchen die allgemeine Lösung für sein Weg-Zeit-Gesetz \(s(t)\), d. h. alle erlaubten Funktionen des Ortes \(s\) in Abhängigkeit der Zeit \(t\). Dieses Problem wird durch zweifaches unbestimmtes Integrieren gelöst: \[ \ddot{s}(t) = a \] Unbestimmtes Integrieren liefert das allgemeine Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz: \[ \dot{s}(t) = at + C \] mit \(C = \dot{s}(0) = v_0\) der Anfangsgeschwindigkeit. Nochmaliges unbestimmtes Integrieren liefert das allgemeine Weg-Zeit-Gesetz: \[ s(t) = \frac{a}{2}t^2 + v_0 t + D \] mit \(D = s(0) = s_0\) dem Anfangsort. Insgesamt erhalten wir das allgemeine Weg-Zeit-Gesetz einer eindimensionalen Bewegung mit konstanter Beschleunigung, d. h. unter konstanter Krafteinwirkung: \[ s(t) = \frac{a}{2}t^2 + v_0 t + s_0. \]
Wir berechnen das bestimmte Integral \(\int_{0}^{\pi/2} \sin(3t - \pi/4) \,\text{d}t\) mit Hilfe der einfachen Substitutionsformel \(\int f(ax + b)\,\text{d}x = F(ax + b)\frac{1}{a}\). \[ \begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2} \sin(3t - \pi/4) \,\text{d}t &= -\cos(3t - \pi/4)\frac{1}{3} \Biggr|_0^{\pi/2} = \\ &= -\frac{1}{3} \left[ \cos(\frac{5\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4}) \right] = \\ &= -\frac{1}{3} \left[ -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right] = \frac{\sqrt{2}}{3} \end{aligned} \]
Wir lösen Sie die folgenden Integrale.
Quellen: [1] Kapitel V, Abschnitt 8, Aufgaben 1h und 5a
Zur Bestimmung des Flächeninhalts eines Kreises mit Radius \(r\) verwenden wir die Kreisgleichung \(x^2 + y^2 = r^2\) für einen Kreis mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Im ersten Quadraten erhalten wir daraus die Funktionsgleichung \(y(x) = \sqrt{r^2 - x^2}\). Die Kreisfläche \(A\) kann somit durch folgendes bestimmtes Integral berechnet werden: \[ A = \int_0^r \sqrt{r^2 - x^2}\,\text{d}x \] Dieses Integral kann z. B. mit der Substitution \(x = r \cos(u)\) berechnet werden, wobei wir kurz \(u\) für \(u(x)\) schreiben. Es folgt \(\text{d}x = -r \sin(u) \,\text{d}u\). Die neuen Variable \(u\) entspricht dem Winkel eines Punktes auf dem Kreis im ersten Quadranten mit Koordinaten \((x, y)\). Damit lauten die substituierten Grenzen: \[ \begin{aligned} x = 0 & \iff u = \frac{\pi}{2} \\ x = r & \iff u = 0 \end{aligned} \] Das transformierte Integral ist \[ \begin{aligned} A & = 4 \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \sqrt{r^2 - (r \cos(u))^2} \cdot (-r) \sin(u) \,\text{d}u = \\ & = -4 \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \sqrt{r^2 \sin^2(u)} \cdot r \sin(u) \,\text{d}u = \\ & = -4 \int_{\frac{\pi}{2}}^0 r^2 \sin^2(u) \,\text{d}u = \\ & = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} r^2 \sin^2(u) \,\text{d}u = \\ & = 4 r^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(u) \,\text{d}u = \\ \end{aligned} \] In den Additionstheoremen, siehe z. B. Wikipedia und [2], findet man die hilfreiche Formel \(\sin^2(\alpha) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2\alpha))\). Damit können wir weiterrechnen: \[ \begin{aligned} A & = 4 r^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \,\text{d}u - 4 r^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \cos(2u) \,\text{d}u = \\ & = 2 r^2 u \Biggr|_0^{\frac{\pi}{2}} - 2 r^2 \sin(2u)\frac{1}{2}\Biggr|_0^{\frac{\pi}{2}} = \\ & = 2 r^2 \frac{\pi}{2} - r^2 (\sin(\pi) - \sin(0)) = \\ & = \pi r^2. \end{aligned} \]
Der Integrand des Integrals \(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 - x}}\,\text{d}x\) hat bei der oberen Grenze eine Polstelle. Es handelt sich daher um eine uneigentliches Integral, das wir mittels Grenzwertbildung berechnen: \[ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 - x}}\,\text{d}x &= \lim\limits_{\lambda \to 0, \lambda >0} \int_0^{1 - \lambda} \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \,\text{d}x = \\ &= \lim\limits_{\lambda \to 0, \lambda >0} \int_0^{1 - \lambda} (1 - x)^{-\frac{1}{2}} \,\text{d}x = \\ &= \lim\limits_{\lambda \to 0, \lambda >0} (1 - x)^{\frac{1}{2}} \frac{1}{-\frac{1}{2}} \Biggr|_0^{1 - \lambda} = \\ &= \lim\limits_{\lambda \to 0, \lambda >0} -2 \sqrt{1 - x} \Biggr|_0^{1 - \lambda} = \\ &= \lim\limits_{\lambda \to 0, \lambda >0} -2 \sqrt{\lambda} + 2\sqrt{1} = \\ &= 2. \end{aligned} \]
Nicht alle Integrale können analytisch mit einer Formel für eine Stammfunktion gelöst werden. Zum Beispiel lässt sich das unbestimmte Integral der Normalverteilung nicht mit elementaren Funktionen darstellen. In solchen Fällen verwendet man bereits vorhandene, numerisch berechnete Tabellenwerte oder führt die numerische Integration selber durch.
Um die Genauigkeit einer numerischen Integration bewerten zu können, integrieren wir im folgenden Beispiel eine Funktion \(f(x)\), die sich auch analytisch (d. h. exakt mit einer Formel) integrieren lässt.
Beispiel: Das Integral von \(f(x) = \sin(x)\) zwischen \(0\) und \(\pi\) hat die analytische Lösung \[ I_\text{exakt} = \int_0^\pi \sin(x) \,\text{d}x = -\cos(x) \Biggr|_0^\pi = 1 + 1 = 2. \] Für eine approximative numerische Lösung berechnen wir eine Riemann-Summe mit Schrittweite \(h\) und Stützstellen \(x_0=0, x_1=h, x_2=2h, \dotsc, x_n=\pi\), um die Fläche unter dem Graphen durch Rechtecke der Breite \(h\) und Höhe \(f(x_i)\) anzunähern: \[ I_\text{approx} = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \cdot h \] Die Riemann-Summe is in Abbildung 2 dargestellt.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
n = 50
h = np.pi/n
x = np.linspace(0, np.pi - h, num=n)
I_approx = np.sum(np.sin(x)*h)
print(f"Riemann-Summe = {I_approx:.5f}")
plt.figure(figsize=(5, 3))
x_plot = np.linspace(0, np.pi, n)
plt.step(x_plot, np.sin(x_plot), 'r', where='post')
plt.plot(x_plot, np.sin(x_plot), '-k')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)Riemann-Summe = 1.99934
Bestimmen Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen.
Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale.
Die Biegegleichung eines Balkens der Länge \(l\), der in den beiden Endpunkten \(x = 0\) und \(x = l\) unterstützt wird, lautet bei gleichmäßiger Streckenlast \(F\) \[ y''(x) = -\frac{F}{2EI}(lx - x^2) \] mit \(0 \leq x \leq l\) und den Parametern \(E\) (Elastizitätsmodul) und \(I\) (Flächenmoment). Bestimmen Sie durch Integration die Biegelinie \(y(x)\) für die Randwerte \(y(0) = 0\) und \(y'(l/2) = 0\). Erstellen Sie am Computer einen Plot der Biegelinie.
Quelle: [1] Kapitel V, Abschnitt 10, Aufgabe 3
Wie lautet die Funktionsgleichung der durch den Punkt \(P = (0|2)\) verlaufenden Funktion \(y(x)\) mit der Ableitung \(y'(x) = \sin(x) + 3e^x - \frac{1}{3}x^2 + \frac{4}{1 + x^2}\)?
Lösen Sie die folgenden Integrale durch Substitution, und machen Sie die Probe.
Quelle: [1] Kapitel V, Abschnitt 8, Aufgaben 1e und 5b
Berechnen Sie die folgenden schwierigen Integrale, und machen Sie die Probe.
Lösen Sie das folgende Integral durch Partialbruchzerlegung des Integranden: \[ \int \frac{4x - 2}{x^2 -2x - 63} \,\text{d}x \] Quelle: [1] Kapitel V, Abschnitt 8, Aufgabe 7d
Berechnen Sie \[ \int \dfrac{2x + 1}{x^3 - 6x^2 + 9x} \text{d}x. \] Quelle: [1] Kapitel V, Abschnitt 8, Aufgabe 7e
Lösen Sie \(\int_{0}^{2} \frac{x - 4}{x + 1} \,\text{d}x\).
Quelle: [1] Kapitel V, Abschnitt 8, Aufgabe 10f
Lösen Sie \(\int \frac{x^3}{(x^2 - 1)(x + 1)} \,\text{d}x\).
Quelle: [1] Kapitel V, Abschnitt 8, Aufgabe 10e
Durch Rotation der Kurve \(y = \sqrt{\cos(x)}\), \(0 \leq x \leq \pi/2\) um die \(x\)-Achse entsteht ein Drehkörper. Wo befindet sich der Schwerpunkt des Körpers?
Quelle: [1] Kapitel V, Abschnitt 10, Aufgabe 32
Wie lang ist der Bogen des Funktionsgraphen von \(y = x^{3/2}\) über dem Intervall \(1 \leq x \leq 7{,}45\)?
Quelle: [1] Kapitel V, Abschnitt 10, Aufgabe 16
Berechnen Sie das Volumen eines Rotationsellipsoids mit der Hauptachse \(a\) und der Nebenachse \(b\).
Berechnen Sie die Mantelfläche eines Kreiskegels mit Radius \(R\) und Höhe \(H\).
Die Funktion \(f(x) = \sin(x)\) rotiert um die \(x\)-Achse zwischen \(x=0\) und \(x=\pi\). Berechnen Sie das Rotationsvolumen und die Mantelfläche (= in diesem Fall gleich der Oberfläche) des Rotationskörpers.
Hinweis: Verwenden Sie, dass \(\sqrt{a^2 + x^2}\) die Stammfunktion \(\frac{a^{2}}{2} \text{arsinh} \left({\frac{x}{a}}\right) + \frac{x}{2}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\) hat, und benutzen Sie zur Berechnung des \(\text{arsinh}\) die Formel \(\text{arsinh}(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\).
Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral \(\int_0^1 \frac{1}{x}\,\text{d}x\) divergiert, also unendlich viel Fläche unter dem Graphen zwischen 0 und 1 ist.
Zeigen Sie, dass sich zwei Stammfunktionen \(F_1(x)\) und \(F_2(x)\) einer Funktion \(f(x)\) nur durch eine Integrationskonstante unterscheiden können.
Beweisen Sie \(\int f(ax + b)\,\text{d}x = F(ax + b)\frac{1}{a}\)