Die Mengenlehre bildet die Basis der Mathematik! Alle mathematischen Objekte, die wir in der Wissenschaft und Technik brauchen, wie z. B. Funktionen, Vektoren und Gleichungen, bauen auf der Mengenlehre auf. Sie ist sehr anschaulich und auch außerhalb der Mathematik ein hilfreiches Instrument zur Strukturierung unserer Gedanken. Wir wiederholen hier nur die für uns wichtigsten Bereiche der Mengenlehre, insbesondere oft verwendete Notation (=Schreibweise).
Eine Menge ist eine Zusammenstellung verschiedener Elemente und wird typischerweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet. So ist z. B. die Menge \(A = \{1, \text{Haus}, 2\}\) die Menge der Zahlen \(1\), \(2\) und des Wortes “Haus”. Die Notation \(2 \in A\) bedeutet “2 ist Element der Menge \(A\)”, die Notation \(3 \notin A\) bedeutet “2 ist nicht Element der Menge \(A\)”.
Wenn jedes Element einer Menge \(A\) auch in der Menge \(B\) enthalten ist, sagt man “\(A\) ist Teilmenge von \(B\)” und schreibt \(A \subseteq B\). Wenn zudem \(B\) mehr Elemente als \(A\) enthält, sagt man “\(A\) ist echte Teilmenge von \(B\)” und schreibt \(A \subset B\). Mengen werden gerne als Venn-Diagramme grafisch dargestellt, z. B. für \(A \subseteq B\) in Abbildung 1:
In der Technik sind die folgenden Zahlenmengen sehr wichtig:
Es gilt \(\mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\). Jede Erweiterung von einer kleinen auf einen größere Zahlenmenge macht das Beschreiben und Lösen von gewissen Problemen einfacher. Ein Beispiel: Die Diagonale des Einheitsquadrats hat die Länge \(\sqrt{2}\). Die Zahl \(\sqrt{2}\) ist keine Bruchzahl, also nicht in \(\mathbb{Q}\). Man braucht die reellen Zahlen, um alle Diagonalen beschreiben und mit ihnen rechnen zu können.
Im Kapitel Komplexe Zahlen werden wir diese Folge von wachsenden Zahlenmengen weiterführen.
Intervalle sind zusammenhängende Bereiche des Zahlenstrahls, z. B.:
Das Symbol \(\vert\) liest man dabei als “für die gilt”.
Mengenoperationen:
Indizieren und Summenzeichen:
Wenn man mehrere mathematische Objekte (z. B. Zahlen, Vektoren, Funktionen) beschreiben möchte, führt man oft eine Indizierung der Objekte ein, d. h. jedes Objekt bekommt einen Index, mit dem es eindeutig angesprochen werden kann. Der Index ist typischerweise eine laufende Nummer \(i \in I \subseteq \mathbb{N}\) aus einer Indexmenge, die hier \(I\) heißt.
Beispiel: Die erreichten Prozentpunkte in der Mathematikprüfung von 25 Studierenden werden als \(p_i \in [0, 100]\) mit Index \(i \in I=\{1, 2, 3, \ldots, 24, 25 \}\) geschrieben. Das arithmetische Mittel dieser Folge von Prozentpunkten kann man mit dem Summenzeichen als \(\frac{1}{25}\sum_{i=1}^{25} p_i\) oder auch als \(\frac{1}{25}\sum_{i \in I} p_i\) geschrieben werden.
In der Schule hat Mathematik vor allem Rechnen (nach bestimmten Mustern) bedeutet wie z. B. Zahlen von Hand multiplizieren, Terme umformen, Gleichungen lösen, Ableitungen und Integrale berechnen. Auf der (Fach-)Hochschule beschäftigen wir uns auch damit, warum und wann man bestimmte mathematische Aussagen treffen kann. Man beschäftigt sich also auch mit Fragen wie den folgenden:
In der Mathematik will man also eindeutige und beweisbare Aussagen machen, die unter klar definierten Voraussetzungen gelten. So weiß man mit Sicherheit, was man behaupten und folgern kann und was nicht, und muss sich nicht streiten.
Beispiele:
Eine (mathematische) Aussage ist eine Behauptung, die einen Sachverhalt beschreibt und entweder wahr oder falsch ist.
Beispiele für Aussagen:
Keine Aussagen sind:
Die Verneinung einer Aussage \(A\) wird las \(\neg A\) geschrieben genau dann wahr, wenn \(A\) falsch ist. Aussagen können z. B. mit den Operatoren \(\vee\) und \(\wedge\) zu neuen Aussagen verknüpft werden. Eine sehr wichtige Verknüpfung für die Mathematik ist die Implikation, d. h. die (Schluss-)Folgerung einer Aussage \(B\) aus einer Aussage \(A\), die mit dem Implikationspfeil als \(A \implies B\) dargestellt wird. Hier ein paar “Übersetzungen” von \(A \implies B\):
Achtung: Die Implikation \(A \implies B\) ist nur dann falsch, wenn \(A\) wahr und \(B\) falsch ist. Daher werden wir im Folgenden immer \(A\) als wahr annehmen. Das bedeutet wir nehmen an, dass die Aussage \(A\) gilt, und überprüfen, ob man daraus folgeren kann, dass \(B\) auch gilt.
Beispiel: Sei \(A\) die Aussage “Die reelle Zahl \(x\) liegt im Interval \([-2, 2]\).”, und sei \(B\) die Aussage “Das Quadrat der reellen Zahl \(x\) liegt im Interval \([0, 5]\).” Die Implikation \(A \implies B\) ist wahr. Achtung, die umgekehrte Implikation \(B \implies A\) ist falsch! Wir können in Abbildung 1 der Aussage \(A\) die Menge A all jener \(x\), die \(A\) erfüllen, und der Aussage \(B\) die Menge B all jener \(x\), die \(B\) erfüllen, zuordnen, und so die Implikation mengentheoretisch veranschaulichen. \(A \implies B\) entspricht dann der Aussage A \(\subseteq\) B.
Der Beweis einer Implikation \(A \implies B\) wird oft durch einen Kettenschluss \(A \implies A_1 \implies A_2 \implies \ldots B\) geführt. Im vorherigen Beispiel könnte dieser so aussehen: \(x \in [-2, 2] \implies x^2 \in [0, 4] \implies x^2 \in [0, 5]\).
Wenn sowohl \(A \implies B\) und \(B \implies A\) gelten, also wahr sind, dann sind die beiden Aussagen \(A\) und \(B\) äquivalent, und man schreibt \(A \iff B\). In Worten: \(A\) gilt genau dann, wenn \(B\) gilt.
Beispiele:
Um zu beweisen, dass eine Aussage wahr oder falsch ist, kann man unter anderem folgende Beweistechniken verwenden:
Das Gleichheitszeichen wird in der Mathematik für an sich unterschiedliche Zwecke verwendet:
In diesem Abschnitt gehen wir von allgemeinen Aussagen über zu Aussagen über die Werte von Größen und ihre Abhängigkeiten. Für diese nicht nur in der Technik sehr wichtige Aufgabe verwendet man Funktionen, die auch Abbildungen, Operationen und Transformationen genannt werden. Sie beschreiben, wie eine (später mehrere) Größe von einer (später mehrere) anderen Größe abhängt. Beispiele: Kinetische Energie als Funktion der Geschwindigkeit, Energieverbrauch eines Fahrzeugs als Funktion seiner Geschwindigkeit, Preis eines Gutes als Funktion der Einkaufsmenge, elektrischer Spannungsverlauf als Funktion der Zeit. Funktionen dienen also zur Beschreibung von Zusammenhängen vom Typ “Wenn diese Größe diesen Wert hat, dann hat diese andere Größe diesen Wert.”. Wenn der Zusammenhang quantitativer Natur ist, werden den numerischen Werten der Wenn-Größe numerische Werte der Dann-Größe zugeordnet.
Hier die formale Definition einer reellen (weil reelle Zahlen als numerische Werte verwendet werden) Funktion. Eine reelle Funktion ist eine Vorschrift, z. B. \(f\) genannt, die jedem Element \(x \in D \subseteq \mathbb{R}\) genau ein Element \(y \in Z \subseteq \mathbb{R}\) zuordnet:
\[ \begin{aligned} f: D &\to Z \\ x &\mapsto y = f(x) \end{aligned} \]
Eine Funktion beschreibt somit viele Wenn-Dann-Aussagen zwischen Input- und Outputgröße: Die Inputgröße hat den Wert \(x\). \(\implies\) Die Outputgröße hat den Wert \(f(x)\).
Nomenklatur:
Hinweise:
Venn-Diagramme stellen die Funktionszuordnung mengentheoretisch dar, siehe Abbildung 2.
Eine Wertetabelle einer reellen Funktionen gibt in einer Tabelle eine Auswahl an Wertepaaren \(x \in D\) und \(f(x) \in Z\) an. Im folgenden Python-Code generieren wir eine Wertetabelle der Funktion \(f(x) = \frac{1}{1 + x^2}\). Dabei wird zuerst das Python-Paket NumPy geladen. Anschließend wird die Funktion definiert. Schließlich wird die Funktion in einer for-Schleife an den Stellen des Arrays [-2, -1, 0, 1, 2] ausgewertet und formatiert ausgegeben.
# import package:
import numpy as np
# define function:
def f(x):
return 1/(1 + x**2)
# array of 5 grid points distributed between -2 and 2 with equal spacing:
x_values = np.linspace(start=-2, stop=2, num=5)
# print x and f(x) values:
print("x | f(x)")
print("----------")
for x in x_values:
print(f"{x:2.0f} | {f(x):1.3f}")x | f(x)
----------
-2 | 0.200
-1 | 0.500
0 | 1.000
1 | 0.500
2 | 0.200Im Kapitel Scientific Computing finden Sie:
In dieser Lehrveranstaltung verwenden wir den Computer nur einführend, vereinzelt und unterstützend für Visualisierungen, Überprüfungen von Handrechnungen und Berechnungen, die von Hand zu aufwendig wären. Dieses ersten Scientific Computing Kompetenzen sind für diese Lehrveranstaltung nicht prüfungsrelevant, sie werden in den anschließenden Semestern aber vertieft und sind ab dem zweiten Semester prüfungsrelevant.
Der Graph einer reellen Funktion zeichnet die Paare \((x, f(x))\) für alle \(x \in D\) als Punkte in ein Koordinatensystem ein. Für die Abbildung 3 wurden 50 Stellen verwendet, die zwischen -2 und 2 mit gleichem Abstand verteilt sind. Zur grafischen Darstellung wurde das Python-Paket Matplotlib verwendet.
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-2, 2, num=50)
plt.figure(figsize=(4, 3))
plt.plot(x, f(x), linestyle='-', color='red', marker='.')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.grid(True)
plt.show()
Um die Ein- oder Mehrdeutigkeit und Umkehrbarkeit einer Funktion zu beschreiben, werden folgende Begriffe verwendet:
Eine bijektive Funktion \(f\) ist also umkehrbar. Die Umkehrfunktion, auch inverse Funktion genannt, wird mit \(f^{-1}\) bezeichnet: \[ \begin{aligned} f^{-1}: Z &\to D \\ y &\mapsto x = f^{-1}(y) \end{aligned} \] Zur Bestimmung der Umkehrfunktion löst man die Funktionsgleichung \(y=f(x)\) nach x auf und erhält dadurch die Funktionsgleichung \(x=f^{-1}(y)\) der Umkehrfunktion \(f^{-1}\). Achtung: Oft wird statt \(f^{-1}(y) = \ldots\) wieder \(x\) als Argument verwendet und \(f^{-1}(x) = \ldots\) geschrieben. Das ist problemlos, da das Argument einer Funktionsgleichung eine Dummy-Variable ist. Der Graph mit Punkten \((x, f(x))\) einer umkehrbaren Funktion \(f\) und der Graph mit Punkten \((x, f^{-1}(x))\) ihrer Umkehrfunktion \(f^{-1}\) spiegeln sich an der 1. Mediane. In Abbildung 4 ist die Quadratfunktion \(f(x) = x^2\) und ihre Umkehrfunktion \(f^{-1}(x) = \sqrt{x}\) dargestellt:
def f(x):
return x**2
def f_inv(x):
return np.sqrt(x)
plt.figure(figsize=(4, 3))
x = np.linspace(0, 3, num=100)
plt.plot(x, f(x), label="$f(x) = x^2$")
x = np.linspace(0, 9, num=100)
plt.plot(x, f_inv(x), label="$f^{-1}(x) = \sqrt{x}$")
plt.plot(x, x, '--k', label='1. Mediane')
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$y$')
plt.legend()
plt.grid(True)
Monotonie: Eine Funktion \(f: D \to Z\) heißt in einem Intervall \(I \subseteq D\)
Beispiel: \(f(x) = x^2\) ist im Intervall \((-\infty, 0]\) streng monoton fallend und im Intervall \([0, \infty)\) streng monoton steigend.
Folgerung: Eine im ganzen Definitionsbereich streng monotone (steigend oder fallend) Funktion lässt sich umkehren.
Periodizität: Ist \(f\) eine auf \(\mathbb{R}\) definierte Funktion, d. h. \(f: \mathbb{R} \to Z\), und gilt für eine Konstante \(p > 0\), dass
\[ f(x + p) = f(x) \]
für alle \(x \in \mathbb{R}\), dann heißt \(f\) periodisch mit der Periode \(p\). Auch \(2p, 3p, \ldots\) sind dann Perioden.
Beispiel: Die kleinste Periode von \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) ist \(2\pi\).
Folgerung: Die Funktionswerte müssen nur über eine Periode berechnet werden.
Symmetrie: Eine Funktion \(f: \mathbb{R} \to Z\) heißt
Beispiele:
Folgerungen:
Nullstellen: Eine Stelle \(x_0\) im Definitionsbereich einer Funktion \(f\) heißt Nullstelle, wenn \(f(x_0) = 0\) gilt. Nullstellen sind allgemein interessant, weil sich jede Bedingung “schnick(x) = schnack(x)” zu einer Nullstellenbedingung umformen lässt: “schnick(x) - schnack(x) = 0.”
Polstellen: Eine Stelle \(x\), an der eine Funktion nicht definiert ist und in deren Umgebung die Funktionswerte beliebig groß (positiv oder negativ) werden, bezeichnet man als Polstelle oder kürzer als Pol der Funktion. Derartige Singularitäten passieren typischerweise, wenn der Nenner einer Funktion Null wird, während der Zähler nicht Null ist. Beispiel: \(f(x) = \frac{1}{x - 3}\) hat bei \(x = 3\) eine Polstelle.
Grenzwertbegriff und Stetigkeit:
Wir betrachten die sogenannte Sprungfunktion, die z. B. einen Einschaltvorgang oder einen Kipp-Punkt beschreibt:
\[ \begin{aligned} s: \mathbb{R} &\to \{0, 1\} \\ x & \mapsto \begin{cases} 0 \text{ falls } x < 0 \\ 1 \text{ falls } x \geq 0 \end{cases} \end{aligned} \]
In Abbildung 5 erkennt man den (Einschalt-)Sprung bei \(x=0\).
def s(x):
if x < 0:
y = 0.0
else:
y = 1.0
return y
plt.figure(figsize=(4, 3))
x = np.linspace(-2, -0.001, num=100)
plt.plot(x, np.vectorize(s)(x), color='red')
x = np.linspace(0, 2, num=100)
plt.plot(x, np.vectorize(s)(x), color='red')
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$y$')
plt.grid(True)
Wie kann man mathematisch beschreiben, dass diese Funktion bei \(x=0\) unstetig ist und bei allen anderen \(x \neq 0\) stetig ist? Dazu verwendet man z. B. den Grenzwertbegriff mit dem Symbol \(\lim\) für Limes (=Grenzwert): Man kann einer Stelle \(x\) auf verschiedenste Arten beliebig nahe kommen, auch ohne die Stelle zu erreichen. Zum Beispiel kann man sich der Stelle \(x=0\) mit im Betrag immer kleiner werdenden negativen Zahlen nähern: \(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{5}, \ldots\). Die zugehörigen Funktionswerte \(s\left(-\frac{1}{2}\right), s\left(-\frac{1}{3}\right), s\left(-\frac{1}{4}\right), s\left(-\frac{1}{5}\right), \ldots\) sind alle \(0\). Man sagt, dass der Grenzwert dieser \(x\)-Werte \(0\) ist und der Grenzwert der zugehörigen Funktionswerte \(0\) ist. Nähert man sich aber z. B. mit immer kleiner werdenden positiven Zahlen \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots\), so sind die zugehörigen Funktionswerte \(s\left(\frac{1}{2}\right), s\left(\frac{1}{3}\right), s\left(\frac{1}{4}\right), s\left(\frac{1}{5}\right), \ldots\) alle \(1\). Der Grenzwert dieser \(x\)-Werte ist zwar weiterhin \(0\), aber jener der zugehörigen Funktionswerte ist nun \(1\). Man sagt, dass der Grenzwert der Sprungfunktion für \(x \to 0\) nicht existiert, weil er nicht eindeutig ist. Der Grenzwert der Sprungfunktion für \(x \to a\) für jedes \(a \neq 0\) existiert allerdings und ist gleich \(s(a)\). Man schreibt dies kurz als \(\lim\limits_{x \to a} s(x) = s(a)\).
Allgemein gilt folgendes für eine Funktion \(f(x)\): Falls der Grenzwert von \(f\) für \(x\) gegen eine Stelle \(a\) existiert und dieser Grenzwert gleich dem Funktionswert \(f(a)\) ist, dann heißt die Funktion \(f\) bei \(a\) stetig, andernfalls bei \(a\) unstetig. Ist die Funktion an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig, so sagt man kurz, dass die Funktion stetig ist. Bei stetigen Funktionen haben kleine Änderungen der Input-Variablen \(x\) immer kleine Änderungen der Output-Variablen \(f(x)\) zur Folge. Der Graph einer stetigen Funktion ist innerhalb ihres Definitionsbereiches eine zusammenhängende Kurve, er macht keine Sprünge und kann ohne Absetzen gezeichnet werden.
Die Sprungfunktion \(s(x)\) ist zwar bei allen Stellen \(x \neq 0\) stetig, aber bei \(x = 0\) unstetig. Somit ist sie insgesamt unstetig.
Funktionen werden punktweise addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert, genauer:
\[ \begin{aligned} (f + g)(x) &= f(x) + g(x) \\ (f - g)(x) &= f(x) - g(x) \\ (f \cdot g)(x) &= f(x) \cdot g(x) \\ \frac{f}{g}(x) &= \frac{f(x)}{g(x)} \end{aligned} \]
In Abbildung 6 ist als Beispiel die Summe einer Parabel und einer Geraden dargestellt:
x = np.linspace(-2, 2, num=100)
plt.figure(figsize=(5, 3))
plt.plot(x, x**2, label='Parabel')
plt.plot(x, -0.5*x + 1, label='Gerade')
plt.plot(x, x**2 - 0.5*x + 1, linewidth=2, label='Summe')
plt.xlabel('x')
plt.legend()
plt.grid(True)
Geometrische Operationen am Graphen:
| Ersetzt man \(y = f(x)\) durch | so wird der zugehörige Graph |
|---|---|
| \(y = f(x - x_0)\) | um \(x_0\) in \(x\)-Richtung verschoben |
| \(y = f(x) + y_0\) | um \(y_0\) in \(y\)-Richtung verschoben |
| \(y = -f(x)\) | an der \(x\)-Achse gespiegelt |
| \(y = f(-x)\) | an der \(y\)-Achse gespiegelt |
| \(x = f(y)\) | an der 1. Mediane gespiegelt |
| \(y = af(x)\) | in \(y\)-Richtung mit Faktor \(a>0\) gestreckt |
| \(y = f(x/a)\) | in \(x\)-Richtung mit Faktor \(a>0\) gestreckt |
Hintereinanderschaltung:
Der Output einer Funktion \(g\) kann als Input einer zweiten Funktion \(f\) dienen, falls die Bildmenge von \(g\) im Definitionsbereich von \(f\) liegt. Unter dieser Voraussetzung schreibt man die Hintereinanderschaltung (Komposition, Verkettung) von zuerst \(g\) und dann \(f\) als \(f \circ g\), was als “\(f\) nach \(g\)” ausgesprochen wird. Ein \(x\) aus dem Definitionsbereich von \(g\) wird von \(f \circ g\) auf \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) im Zielbereich von \(f\) abgebildet.
Beispiel: \(f(x) = \sqrt{x}\), \(g(x) = 1 + x^2\), \((f \circ g)(x) = \sqrt{ 1 + x^2}\)
Eine (nicht-vertikale) Gerade ist durch die Funktionsgleichung \(y = kx + d\) gegeben. Dabei ist \(k\) die Steigung und \(d\) der \(y\)-Achsenabschnitt, vgl. Abbildung 6.
Die Betragsfunktion ist definiert als \[ |x| = \begin{cases} -x \text{ für } x < 0 \\ x \text{ für } x \geq 0 \end{cases} \] siehe Abbildung 7, und stimmt mit \(\sqrt{x^2}\) überein.
x = np.linspace(-2, 2, num=1000)
y = np.abs(x)
plt.figure(figsize=(6, 3))
plt.plot(x, y)
plt.xlabel("x")
plt.grid(True)
Polynome sind Summen aus skalierten Potenzfunktionen, zum Beispiel \(p(x) = -3 + 2x + 5x^2 - x^4\). Der Grad des Polynoms ist der höchste Exponent. Im vorigen Beispiel ist der Grad 4. Die allgemeine Form eines Polynoms \(n\)-ten Grades lautet \[ p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots a_{n-1} x^{n-1} + a_n x^n \] mit \(a_n \neq 0\). Die Zahlen \(a_i\) für \(i = 0, \ldots, n\) sind die Koeffizienten des Polynoms. Unter den Polynomen finden sich viele bekannte Funktionen, vgl. Abbildung 6:
Ein Polynom \(n\)-ten Grades hat maximal \(n\) reelle Nullstellen. Dies ist für Geraden und Parabeln anschaulich. Warum sind Polynome nützlich?
In Abbildung 8 ist ein Polynom vierten Grades dargestellt.
x = np.linspace(-3, 3, num=100)
y = 2 - 3*x - 2*x**2 + 0.3*x**3 + 0.5*x**4
plt.figure(figsize=(5, 3))
plt.plot(x, y)
plt.xlabel("x")
plt.grid(True)
Eine rationale Funktion ist eine Funktion, die als Quotient zweier Polynome darstellbar ist.
Für die geometrische Definition der trigonometrischen Funktionen \(\sin\) (Sinus) und \(\cos\) (Kosinus) verwenden wir den Einheitskreis, siehe Abbildung 9:
Mit Hilfe des Strahlensatzes erkennt man, dass im ersten Quadranten (\(0 \leq \alpha < \frac{\pi}{2}\)) folgende Gleichungen gelten: \[ \begin{aligned} \tan(\alpha) &= \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \\ \cot(\alpha) &= \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \end{aligned} \] Diese Gleichungen werden zur Definition der Funktionen \(\tan\) (Tangens) und \(\cot\) (Kotangens) für alle Winkel verwendet. Beachten Sie, dass \(\sin, \cos, \tan\) und \(\cot\) auch negative Werte annehmen. Ebenfalls mit Hilfe des Strahlensatzes erhält man die bekannten Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck, siehe Abbildung 10:
\[ \begin{aligned} \sin(\alpha) & = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \\ \cos(\alpha) & = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \end{aligned} \]
Der Satz von Pythagoras lautet \[ \text{Ankathete}^2 + \text{Gegenkathete}^2 = \text{Hypotenuse}^2 \] und liefert nach Division durch \(\text{Hypotenuse}^2\) \[ \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1. \] Für die vielen weiteren Eigenschaften von trigonometrischen Funktionen wird auf die Literatur verwiesen. In Abbildung 11 sieht man, dass Sinus und Kosinus (wie auch Tangens und Kotangens) die Periode \(2\pi\) haben.
x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, num=100)
plt.figure(figsize=(5, 3))
plt.plot(x, np.sin(x), label='$\sin(x)$')
plt.plot(x, np.cos(x), label='$\cos(x)$')
plt.xlabel("$x$")
plt.legend()
plt.grid(True)
Die Umkehrfunktionen von Sinus und Kosinus heißen Arkussinus und Arkuskosinus und über folgende Mengen definiert: \[ \begin{aligned} \arcsin: & [-1, 1]\to \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right] \\ \arccos: & [-1,1] \to [0, \pi ] \end{aligned} \]
Eine Funktion vom Typ \(f(x) = a^x\) mit \(a > 0\), deren Argument im Exponenten steht, heißt Exponentialfunktion. Exponentialfunktionen dienen zur Beschreibung von (auch negativen) Wachstumsprozessen, bei denen die zeitliche Änderung einer Größe proportional zum aktuellen Wert der Größe ist. Beispiel sind
Am gebräuchlichsten ist die (natürliche) Exponentialfunktion \(f(x) = e^x\), kurz \(e\)-Funktion genannt. Dabei ist \(e \simeq 2{,}7182818\) die Eulersche Zahl und irrational. In Abbildung 12 sind die Graphen von \(e^x\) und \(e^{-x}\) dargestellt.
x = np.linspace(-2, 2, num=100)
plt.figure(figsize=(4, 3))
plt.plot(x, np.exp( x), label='$e^x$')
plt.plot(x, np.exp(-x), label='$e^{-x}$')
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$y$')
plt.legend()
plt.grid(True)
Im Kapitel Komplexe Zahlen werden wir eine wichtige Definition von \(e^x\) mittels einer Potenzreihe kennenlernen. Die Werte \(e^x\) sind für alle \(x \in \mathbb{R}\) positiv, also insbesondere nicht Null. Folgende Rechenregeln ergeben sich aus den Potenzgesetzen: \(e^0 = 1\), \(e^a e^b = e^{a + b}\), \(e^{-x} = \frac{1}{e^x}\). Da die Exponentialfunktion streng monoton wachsend und ihre Bildmenge alle positiven reellen Zahlen umfasst, kann man die Gleichung \(e^x = y\) für jedes \(y > 0\) nach \(x\) auflösen. Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion heißt natürlicher Logarithmus \(\ln\). Achtung: In vielen Programmiersprachen, so auch in Python, wird log für den natürlichen Logarithmus verwendet, siehe den Code zur Abbildung 13.
plt.figure(figsize=(4, 4))
x = np.linspace(-2, 2, num=100)
plt.plot(x, np.exp(x), label="$e^x$")
x = np.linspace(0.01, 4, num=100)
plt.plot(x, np.log(x), label="$\ln(x)$")
x = np.linspace(-2, 4, num=100)
plt.plot(x, x, '--k', label='1. Mediane')
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$y$')
plt.legend(loc='upper left')
plt.grid(True)
Wichtige Eigenschaften und Rechenregeln:
Die Hyperbelfunktionen Sinus hyperbolicus, Kosinus hyperbolicus etc. haben ähnliche Eigenschaften wie die entsprechenden trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus etc., siehe z. B. Wikipedia: \[ \begin{aligned} \sinh(x) & := \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \quad \text{der ungerade Anteil von }e^x \\ \cosh(x) & := \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \quad \text{der gerade Anteil von }e^x \\ \tanh(x) & := \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \\ \coth(x) & := \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} \end{aligned} \] Es gilt z. B., ähnlich zum Satz von Pythagoras, dass \(\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1\) für alle \(x \in \mathbb{R}.\) Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Areafunktionen, siehe auch [2] Seite 305ff.
Wir bestimmen die Lösungsmenge der Gleichung \(|x - 3| = 5x.\) \[ \begin{aligned} |x - 3| &= 5x \\ \pm (x - 3) &= 5x \\ x - 3 &= \pm 5x \\ x \pm 5x &= 3 \\ \end{aligned} \] Es gibt zwei Fälle:
Die Lösungsmenge ist daher \(L = \{-\frac{3}{4}, \frac{1}{2}\}\).
Wo ist der Fehler in der folgenden Rechnung versteckt? Welche mathematische Regel wird hier verletzt? \[ \begin{aligned} a &= b \\ a^2 &= ab\\ a^2+(a^2-2ab) &= ab+(a^2-2ab)\\ 2(a^2-ab) & =a^2-ab\\ 2 &= 1 \end{aligned} \] Lösung: Aus \(a=b\) folgt \(a^2-ab=0\). In der vorletzten Gleichung wird daher durch Null dividiert, was nicht definiert ist.
Sie verstehen den Begriff injektiv noch nicht und machen sich auf Wikipedia schlauer. Dort steht, dass man die Injektivität einer Funktion \(f\) auf zwei Arten angeben kann, die aber äquivalent sind:
Wir beweisen, dass die beiden Definitionen äquivalent sind: Definition A ist äquivalent zu \[\neg \left( f(x_1) \neq f(x_2) \right) \implies \neg \left(x_1 \neq x_2 \right) \] Diese Aussage ist wiederum äquivalent zu \[ f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2, \] was aber gerade Definition B ist.
Sie veranlagen Ihr Vermögen von \(K_0 =1000\) Euro mit einem fixen jährlichen Zinssatz von \(p=3\,\% = 0.03\).
Lösung:
K0 = 1000
p = 0.03
t = np.arange(0, 31)
K = K0*(1 + p)**t
plt.figure(figsize=(5, 3))
plt.plot(t, K, 'o')
plt.xlabel('$t$ (Jahre)')
plt.ylabel('Kapital $K(t)$')
plt.grid(True)
Radioaktiver Zerfall kann durch die Funktion \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\) beschrieben werden. Dabei bezeichnet \(N(t)\) die Anzahl der zur Zeit \(t\) vorhandenen (d. h. noch nicht zerfallenen) Atome. \(N_0\) ist die Anzahl der zur Zeit \(t = 0\) vorhandenen Atome und \(\lambda > 0\) ist die dem Material eigene Zerfallskonstante, die angibt, wie schnell oder wie langsam der Stoff zerfällt.
Radium Ra\(^{226}_{88}\) hat eine Halbwertszeit von 1580 Jahren. Nach welcher Zeit liegen von diesem radioaktiven Stoff nur noch 1 % der anfänglich vorhandenen Atome vor?
Lösung: Die Halbwertszeit hängt mit der Zerfallskonstante über \(T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}\) zusammen, denn: \[ \begin{aligned} \frac{N_0}{2} &= N_0 e^{-\lambda T_{1/2}} \\ \frac{1}{2} &= e^{-\lambda T_{1/2}} \\ \ln(1) - \ln(2) &= -\lambda T_{1/2} \\ - \ln(2) &= -\lambda T_{1/2} \\ T_{1/2} &= \frac{\ln(2)}{\lambda} \end{aligned} \] Wir bezeichnen mit \(T_{0.01}\) jene Zeit, nach welcher vom radioaktiven Stoff nur noch 1 % vorliegen. Dann gilt: \[ \begin{aligned} N_0 e^{-\lambda T_{0.01}} &= \frac{N_0}{100} \\ e^{-\lambda T_{0.01}} &= \frac{1}{100} \\ -\lambda T_{0.01} &= -\ln(100) \\ T_{0.01} &= \frac{\ln(100)}{\lambda} = \frac{\ln(100)}{ \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} } = \frac{\ln(100)}{\ln(2)} T_{1/2} \simeq 10500\text{ Jahre} \end{aligned} \]
Wir bestimmen für die Funktionsgleichung \[ f(x) = \frac{x^2 - 6x -7}{x^2 - 1} \]
Lösung: Der Nenner \(x^2 - 1\) ist bei \(x=1\) und \(x=-1\) Null. Daher ist die Funktion an diesen Stellen nicht definiert. Die größtmögliche Definitionsmenge ist daher \(\mathbb{R} \setminus \{1, -1\}\). Beachte aber, dass \(x^2 - 6x - 7 = (x + 1)(x - 7)\) und \(x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)\), sodass die Funktion bei \(x = -1\) stetig fortgesetzt werden kann: \[ f(x) = \frac{x^2 - 6x -7}{x^2 - 1} = \frac{(x + 1)(x - 7)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x - 7}{x - 1} \] Die größtmögliche Definitionsmenge der stetigen Fortsetzung ist \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Es gibt eine Nullstelle bei \(x = 7\) und einen Pol bei \(x = 1\), siehe den Graphen.
plt.figure(figsize=(4, 3))
x = np.linspace(-3, 1 - 0.01, num=100)
plt.plot(x, (x**2 - 6*x - 7)/(x**2 - 1), 'k')
x = np.linspace(1 + 0.01, 10, num=100)
plt.plot(x, (x**2 - 6*x - 7)/(x**2 - 1), 'k')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.ylim(-15, 15)
plt.grid()
Wir bestimmen von folgenden Funktionen, ob sie injektiv, surjektiv oder bijektiv sind oder keine dieser Eigenschaften haben:
Lösung:
Wir beurteilen die Eigenschaften der Funktionen anhand ihrer Graphen.
plt.figure(figsize=(4, 4))
x = np.linspace(-np.pi/2, np.pi/2, 100)
plt.plot(x, np.sin(x), label='$\sin(x)$')
plt.plot(x, x**2, label='$x^2$')
plt.plot(x, x**3, label='$x^3$')
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$y$')
plt.legend()
plt.grid(True)
Antworten:
Aufgabe: Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von \(f(x) = 5e^{-\frac{x}{7}} - 2\) mit maximalem Definitionsbereich. Geben Sie diesen Definitionsbereich, einen passenden Zielbereich und die Funktionsgleichung an.
Lösung:
plt.figure(figsize=(4, 3))
x = np.linspace(-10, 50, 100)
plt.plot(x, 5*np.exp(-x/7) - 2)
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$y$')
plt.grid(True)
\[ \begin{aligned} y &= 5e^{-\frac{x}{7}} - 2 \\ y + 2 &= 5e^{-\frac{x}{7}} \\ \frac{y + 2}{5} &= e^{-\frac{x}{7}} \\ \ln\left(\frac{y + 2}{5}\right) &= -\frac{x}{7} \\ x &= -7\ln\left(\frac{y + 2}{5}\right) \end{aligned} \] Die Umkehrfunktion lautet \(f^{-1}: D \to Z: f^{-1}(y) = -7\ln\left(\frac{y + 2}{5}\right)\) mit maximalem Definitionsbereich \(D = (-2, \infty)\) und Zielbereich \(Z = \mathbb{R}\).
Welche der folgenden Funktionen ist gerade, ungerade oder weder noch?
Lösungen:
Wir untersuchen die Funktion \(y = x^2 - 2x + 1\) auf Monotonie, indem wir
x = np.linspace(-3, 4, 100)
plt.figure(figsize=(4, 3))
plt.plot(x, x**2 -2*x + 1)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
Die Funktion \(y = x^2 - 2x + 1\) ist ein Polynom 2. Grades, d. h. eine Parabel. Die Funktion ist streng monoton fallend für \(x \in (-\infty, 1]\) und streng monoton wachsend für \(x \in [1,\infty)\).
Die Funktion \(f(x) = 2x^2 - 16x + 28{,}5\) entsteht durch Verschieben der Funktion \(g(x) = 2x^2\) um \(a\) Einheiten in die \(x\)-Richtung und \(b\) Einheiten in die \(y\)-Richtung.
Wir berechnen \(a\) und \(b\): \[ \begin{aligned} 2(x - a)^2 + b &= 2x^2 - 4ax + 2a^2 + b \\ &= 2x^2 - 16x + 28{,}5 \end{aligned} \] Polynome sind gleich, wenn ihre Koeffizienten gleich sind. Daher ist \(a=4\), und aus \(2a^2 + b = 28{,}5\) folgt \(b=-3{,}5\). Zum Check zeichnen wir den Graph von \(f\) im Intervall \([1, 7]\) mit beiden Funktionsgleichungen.
x = np.linspace(1, 7)
y = 2*x**2 - 16*x + 28.5
a = 4
b = -3.5
y_check = 2*(x - a)**2 + b
plt.figure(figsize=(4, 3))
plt.plot(x, y , 'o-', label="f(x)")
plt.plot(x, y_check, '.-', label="check")
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
Bestimmen Sie die Lösungsmenge
Lösen Sie die folgenden Gleichungen, d. h. bestimmen Sie ihre Lösungsmengen.
Lösen Sie folgende Gleichungen.
Finden Sie die Probleme in der folgenden Rechnung. \[ \begin{aligned} a &= -b \quad\text{| Quadrieren} \\ a^2 &= b^2 \quad\text{| "Wurzel ziehen"}\\ a &= b \end{aligned} \]
Plotten Sie mit Python im Bereich \([0, 2\pi]\) die Graphen der Funktionen \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) und \(\sin(x)\cos(x)\).
Beim Aufladen eines Kondensators steigt die Kondensatorspannung \(u\) (in Volt) im Laufe der Zeit \(t\) (in Sekunden) nach dem Exponentialgesetz \[ u(t) = 100 \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right), \text{ } t \geq 0. \]
Wir betrachten die Funktion \[ f(x) = \frac{e^{-x} - 2}{x + 1}. \] Bestimmen Sie von der Funktion:
Wo besitzt die Funktion \(f(x)=\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}\) Nullstellen, wo Polstellen? Plotten Sie die Funktion mit Python.
Bestimmen Sie die Nullstellen und Pole der Funktion \[ f(x) = \frac{(x^2 - 3x + 2)e^{-x}}{(x + 1)(x^2 - 25)}. \]
Bestimmen Sie die größtmögliche Definitionsmenge und die zugehörige Bildmenge zur Funktionsgleichung \(y = \sqrt{2x + 6}\). Erstellen Sie eine Wertetabelle, und zeichnen Sie den Graphen.
Wir betrachten die Funktion \[ f(x)=\frac{\sqrt{x + 7}}{x^2 - 1}. \] Bestimmen Sie von der Funktion:
Wir betrachten die Funktion \[ f(x) = \frac{e^{-x} - 2}{x + 1}. \] Bestimmen Sie von der Funktion:
Bestimmen Sie von folgenden Funktionen, ob sie injektiv, surjektiv, bijektiv sind oder keine dieser Eigenschaften haben? Argumentieren Sie anhand ihrer Graphen, und achten Sie auf die jeweiligen Definitions- und Wertemengen.
Gegeben ist die Funktion \(f: \mathbb{R} \rightarrow (0,\infty ): f(x) = 2e^{x - 1}\).
Untersuchen Sie, ob die Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Wenn möglich, geben Sie die Umkehrfunktion an.
Berechnen Sie die Umkehrfunktionen von
und machen Sie die Proben.
Literatur: Siehe [2] Seite 305ff.
Zwischen dem Luftdruck \(p\) (in bar) und der Höhe \(h\) (gemessen in Metern über dem Meeresniveau) gilt unter der Annahme konstanter Lufttemperatur der folgende Zusammenhang: \[ p(h) = p_0e^{-\frac{h}{\alpha}}, \text{ } h \geq 0 \text{ in m} \] Parameterwerte: Luftdruck an der Erdoberfläche \(p_0 = 1{,}013\) bar, \(\alpha = 7991\) m
Welche der folgenden Funktionen sind gerade, ungerade oder weder noch? Begründen Sie Ihre Antwort mit einer Rechnung, die mit \(f(-x) =\) beginnt.
Jede Funktion \(f(x)\) lässt sich in einen geraden Anteil \(f_g(x)\) und einen ungeraden Anteil \(f_u(x)\) aufspalten: \[ \begin{aligned} f_g(x) &= \frac{1}{2}(f(x) + f(-x)) \\ f_u(x) &= \frac{1}{2}(f(x) - f(-x)) \end{aligned} \]
Bestimmen Sie den geraden und den ungeraden Anteil von \(e^{x}\). Plotten Sie alle drei Funktionen. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit den Definitionen der Funktionen \(\cosh(x)\) und \(\sinh(x)\).
Bestimmen Sie mit Hilfe eines Plots, in welchen Intervallen das Polynom \(f(x) = 0.25x^3 + 2x^2 - 2x - 100\) welche Monotonieeigenschaften hat.
Wie ändert sich die Funktionsgleichung \(f(x) = e^{2x + 1}\), wenn deren Graph um zwei Einheiten in die negative \(x\)-Richtung und um eine Einheit in die positive \(y\)-Richtung verschoben wird?
Beim Fallschirmspringen gilt unter der Annahme, dass der Luftwiderstand \(R\) der Fallgeschwindigkeit \(v\) proportional ist (d. h. \(R = cv\) für eine Konstante \(c\)), das folgende Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:
\[
v(t) = \frac{mg}{c}(1-e^{-\frac{c}{m}t})
\] Dabei bedeuten
Aufgaben:
Literatur: [2] Seite 287.