Im Kapitel Grundkonzepte haben wir die wachsenden Zahlenmengen \(\mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) besprochen. Wie kann diese Folge weitergeführt werden? Welchen Nutzen könnte eine neue Zahlenmenge haben, die größer ist als die reellen Zahlen? Darum geht es in diesem Kapitel, in dem wir die komplexen Zahlen als Erweiterung der reellen Zahlen einführen und einige ihrer vielfältigen Anwendungen aufzeigen werden.
Die komplexen Zahlen können als Vektoren der Ebene interpretiert werden, die mit einer neuen Multiplikation ausgestattet werden. Diese Änderung der algebraischen Struktur vereinfacht in der Folge viele andernfalls mühselige und komplizierte Berechnungen – so wie bei anderen Erweiterungen von Zahlenmengen. Komplexe Zahlen werden insbesondere in der Elektrotechnik und Signalanalyse (Fourier-Transformation) aber z. B. auch in der Quantenmechanik verwendet.
Um die Diagonale des Einheitsquadrats zu berechnen, muss man die Gleichung \(x^2 = 2\) lösen, was in \(\mathbb{R}\) möglich in \(\mathbb{Q}\) aber unmöglich ist, vgl. Wikipedia. Auf analoge Weise kann man die Gleichung \(x^2 = -1\) in der Menge \(\mathbb{C}\) der komplexen Zahlen lösen, aber nicht in \(\mathbb{R}\). Die Lösungen von \(x^2 = -1\) werden als die imaginäre Einheit \(j\) und die negative imaginäre Einheit \(-j\) definiert. Es gilt also \((-j)^2 = j^2 = -1\). Wir verwenden hier das in der komplexen Wechselstromrechnung verwendete Symbol \(j\) anstatt des in der Mathematik üblichen Symbols \(i\).
Eine komplexe Zahl \(z\) kann definiert werden als die Summe einer reellen Zahl \(x\) und einem reellen Vielfachen \(y\) der imaginären Einheit \(j\):
\[ z = x + jy \]
Eine komplexe Zahl \(z = x + jy\) enthält somit dieselbe Information wie der Vektor \((x, y)\) der Ebene. Daher wird sie auch gerne als Zeiger (=Ortsvektor) in der Ebene (=komplexe Zahlenebene) dargestellt, vgl. Wikipedia. Der reelle Anteil \(x\) heißt Realteil von \(z\), geschrieben als \(\text{Re}(z) = x\), und das Vielfache \(y\) der imaginären Einheit heißt Imaginärteil, geschrieben als \(\text{Im}(z) = y\). Die Darstellung einer komplexen Zahl mittels der kartesischen Koordinaten \(x\) (Realteil) und \(y\) (Imaginärteil) als \(z = x + jy\) ist die kartesische Form von \(z\). In Abbildung 1 wir die komplexe Zahl \(z = 3 + 2j\) in der komplexen Zahlenebene dargestellt.
Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie in Real- und Imaginärteil übereinstimmen, vgl. die Gleichheit von Vektoren. Das Rechnen mit komplexen Zahlen funktioniert unter der Berücksichtigung von \(j^2=-1\) mit den selben Rechenregeln wie beim Rechnen mit reellen Zahlen. So erfolgt z. B. die Addition und Subtraktion wie in der Vektorrechnung komponentenweise. Zur Multiplikation und Division von komplexen Zahlen gibt es aber keine äquivalente Rechenoperation in der Vektorrechnung.
Eine sehr hilfreiche, zusätzliche Rechenoperation ist die sogenannte Konjugation, die bei einer komplexen Zahl \(j\) durch \(-j\) ersetzt. Für \(z = x + jy\) schreibt man die konjugiert komplexe Zahl \(x - jy\) als \(\overline{z}\) oder \(z^*\). Es gelten:
Geometrisch entspricht die Konjugation der Spiegelung an der Realteil-Achse der komplexen Zahlenebene. Die Konjugation ist z. B. bei der Division zweier komplexer Zahlen hilfreich. Man erweitert dabei den Quotienten mit dem konjugiert komplexen Nenner, um diesen reell zu machen. Hier ein Beispiel: \[ \begin{aligned} \frac{4 - 8j}{3 + 4j} & = \frac{(4 - 8j)(3 - 4j)}{(3 + 4j)(3 - 4j)} = \frac{12 - 16j - 24j + 32j^2}{9 - 16j^2} = \\ & = \frac{12 - 40j - 32}{9 + 16} = \frac{-20 - 40j}{25} = \\ & = -\frac{4}{5} - \frac{8}{5}j = -0{,}8 - 1{,}6j \end{aligned} \]
Die Länge (Norm, Betrag, Radius) einer komplexen Zahl \(z = x + jy\) ist wie in der Vektorrechnung über den Satz von Pythagoras definiert: \[ |z| := \sqrt{x^2 + y^2} \] Mit Hilfe der Konjugation kann man die Länge auch als \(|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}\) berechnen.
Um eine komplexe Zahl \(z = x + jy\) in der Polarform darzustellen, verwendet man ihren Radius (Länge, Norm, Betrag) \(r = |z|\) und ihren gerichteten Winkel (Argument) \(\varphi = \arg(z)\) als Koordinaten, siehe Abbildung 2.
Für das rechtwinklige Dreieck mit Seitenlängen \(r\), \(x\) und \(y\) erkennt man, dass \(x = r \cos(\varphi)\), \(y = r \sin(\varphi)\) und daher ist \[ z = r\cos(\varphi) + jr\sin(\varphi) = r[\cos(\varphi) + j\sin(\varphi)]. \]
Die Exponentialfunktion \(e^x\) kann mit einer sogenannten Potenzreihe \[ e^x := \sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {x^{n}}{n!}} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + \cdots \] definiert und beliebig genau berechnet werden. Auch für Sinus und Kosinus gibt es Potenzreihen: \[ \begin{aligned} \sin(x) & = \frac{x}{1!} - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \cdots = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} - \cdots \\ \cos(x) & = \frac{x^{0}}{0!} - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \cdots = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} - \cdots \end{aligned} \] Setzt man für \(x = j\varphi\) in die Potenzreihe von \(e^x\) ein und vergleicht das Ergebnis mit den Potenzreihen von Sinus und Kosinus, so erhält man die berühmte Eulersche Formel \[ e^{j\varphi} = \cos(\varphi) + j\sin(\varphi). \]
Mit Hilfe der Eulerschen Formel kann man eine komplexe Zahl auch in der sogenannten Exponentialform (auch eine Polarform) schreiben: \[ z = r e^{j\varphi} \]
Um den Winkel einer in kartesischer Form gegebener komplexen Zahl zu berechnen verwendet man meist die Umkehrfunktion des Tangens, nämlich den Arcustangens \(\arctan: \mathbb{R} \to (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\), siehe Abbildung 3.
Aufgrund der Potenzgesetze ist das Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren in Polarform sehr einfach und anschaulich:
Geometrische Interpretation: Die Multiplikation einer komplexen Zahl \(z\) mit einer anderen komplexen Zahl \(r e^{j\varphi}\) dreht \(z\) um den Winkel \(\varphi\) gegen den Uhrzeigersinn und streckt \(z\) um den Faktor \(r\), falls \(r \geq 1\), bzw. staucht \(z\) um den Faktor \(r\), falls \(r \leq 1\). Die komplexe Multiplikation entspricht in diesem Sinn einer Drehstreckung bzw. Drehstauchung.
Eine algebraische Gleichung \(n\)-ten Grades hat die Form \[ a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0 \] mit Koeffizienten \(a_k \in \mathbb{C}\) und \(a_n \neq 0\). Die Lösungen werden in den komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) gesucht. Ein Beispiel: \(-4 z^3 + (3 - 2j) z^2 + 7z - 2j = 0\).
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass eine algebraische Gleichung \(n\)-ten Grades mit \(n \geq 1\) immer genau \(n\) Lösungen \(z_1, \dotsc, z_n\) besitzt, wobei mehrfache Lösungen entsprechend oft gezählt werden. Die linke Seite der algebraischen Gleichung, ein Polynom \(n\)-ten Grades, kann mit den Lösungen in seine Linearfaktoren zerlegt werden: \[ a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_1 z + a_0 = a_n (z - z_1) (z - z_2) \dotsm (z - z_n) \] Bei ausschließlich reellen Koeffizienten \(a_k\) sind die Lösungen paarweise zueinander konjugiert komplexe Zahlen. Das erkennt man daran, dass das Konjugieren der algebraischen Gleichung die Koeffizienten nicht verändert, aber Lösungen in konjugiert komplexen Lösungen überführt. Zum Beispiel hat \(z^3 - z^2 + 4z - 4 = 0\) die Lösungen \(z_1 = 1\), \(z_2 = 2j\) und \(z_3 = -2j\) und \(z^3 - z^2 + 4z - 4 = (z - 1)(z - 2j)(z + 2j).\)
Ein Spezialfall sind die Gleichungen \(z^n = a\) mit \(a \in \mathbb{C}\), die \(n\) verschiedene Wurzeln besitzen. Für \(n=2\) gibt es mit \(a = x + jy\) die Lösungsformel \[ z_{0,1} = \pm \left( \sqrt{\frac{|a| + x}{2}} + j \cdot \text{sgn}(y) \sqrt{\frac{|a| - x}{2}} \right), \] wobei \(\text{sgn}(y) := 1\) für \(y \geq 0\) und \(\text{sgn}(y) := -1\) für \(y < 0\). Für allgemeines \(n \geq 1\) schreibt man \(a\) zuerst in Polarform \(a = r e^{j\varphi}\) um. Die \(n\) verschiedenen Lösungen lauten dann: \[ z_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{j\left( \frac{\varphi + k \cdot 2\pi}{n} \right)} \text{ mit } k = 0,\dotsc, n-1 \]
Die komplexen Zahlen werden in der Wechselstromrechnung verwendet, um Berechnungen mit harmonisch schwingenden Spannungen und Strömen zu vereinfachen. Siehe z. B. [1] Seite 683 ff. Eine harmonische Schwingung ist eine Schwingung \(y(t)\), die sich als \[ \begin{aligned} y(t) &= A \cdot \sin(\omega t + \varphi) \; \text{oder als} \\ y(t) &= A \cdot \cos(\omega t + \varphi) \end{aligned} \] schreiben lässt. Dabei ist \(A\) die Amplitude (der Scheitelwert), \(\omega\) die Kreisfrequenz und \(\varphi\) die Phase (der Phasenwinkel) der harmonischen Schwingung. Zwischen der Periodendauer (Schwingungsdauer) \(T\), der Frequenz \(f\) und der Kreisfrequenz \(\omega\) bestehen die folgenden Beziehungen \[ T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}\;\text{bzw.}\; \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}. \] Zwischen Sinus und Kosinus kann man mit den folgenden Formeln wechseln: \[ \begin{aligned} \cos(\alpha) &= \sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) \\ \sin(\alpha) &= \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) \end{aligned} \]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
T = 0.5 # seconds
f = 1/T
omega = 2*np.pi*f
A = 1.5
phi = np.pi/4
t = np.linspace(0, 3*T, 1000)
y = A*np.sin(omega*t + phi)
plt.figure(figsize=(5, 3))
plt.plot(t, y)
plt.xlabel("Zeit in s")
plt.ylabel("Strom oder Spannung in A bzw. V")
plt.grid(True)
Wir behandeln hier exemplarisch nur eine der vielen Anwendungen der komplexen Zahlen in der Wechselstromrechnung, nämlich die Überlagerung gleichfrequenter harmonischer Schwingungen: Seien \(y_1(t) = a_1 \cdot \sin(\omega t + \varphi_1)\) und \(y_2(t) = a_2 \cdot \sin(\omega t + \varphi_2)\) zwei gleichfrequente harmonische Schwingungen, z. B. Strom oder Spannung. Wie lässt sich ihre Überlagerung (=Summe) \(y(t) = y_1(t) + y_2(t)\) am besten berechnen? Dazu schreibt man \(y_1(t)\) als Imaginärteil der komplexen Schwingung \(Y_1(t) = A_1 \cdot e^{j\omega t}\) mit \(A_1 \in \mathbb{C}\) und \(y_2(t)\) als Imaginärteil der komplexen Schwingung \(Y_2(t) = A_2 \cdot e^{j\omega t}\) mit \(A_2 \in \mathbb{C}\): \[ \begin{aligned} y_1(t) & = a_1 \cdot \sin(\omega t + \varphi_1) = \\ &= \text{Im}(a_1 \cdot \cos(\omega t + \varphi_1) + j \cdot a_1 \cdot \sin(\omega t + \varphi_1)) = \\ &= \text{Im}(a_1 e^{j(\omega t + \varphi_1)} ) = \\ &= \text{Im}(a_1 e^{j\varphi_1} \cdot e^{j\omega t}) \\ y_2(t) & = \dotsc = \\ &= \text{Im}(a_2 e^{j\varphi_2} \cdot e^{j\omega t}) \end{aligned} \] Wir erhalten daraus \(A_1 = a_1 e^{j\varphi_1}\) und \(A_2 = a_2 e^{j\varphi_2}\). Nun lässt sich die Überlagerung der Schwingungen durch die Addition der komplexen Amplituden (Zeiger) \(A_1\) und \(A_2\) darstellen: \[ \begin{aligned} y(t) &= y_1(t) + y_2(t) = \\ &= \text{Im}(Y_1(t)) + \text{Im}(Y_2(t)) = \\ &= \text{Im}(Y_1(t) + Y_2(t)) = \\ &= \text{Im}(A_1 \cdot e^{j\omega t} + A_2 \cdot e^{j\omega t}) = \\ &= \text{Im}( [A_1 + A_2] \cdot e^{j\omega t} ) = \\ &= \text{Im}( A \cdot e^{j\omega t} ) = \\ &= \text{Im}( a e^{j\varphi} \cdot e^{j\omega t} ) = \\ &= \text{Im}( a e^{j (\omega t + \varphi)} ) = \\ &= \text{Im}( a \cdot \cos(\omega t + \varphi) + a \cdot \sin(\omega t + \varphi)) = \\ &= a \cdot \sin(\omega t + \varphi) \end{aligned} \] Dabei haben wir die Summe der komplexen Amplituden \(A_1\) und \(A_2\) als \(A_1 + A_2 = A\) geschrieben und ihre Polardarstellung als \(A = a e^{j\varphi}\). Der Umweg über die komplexe Darstellung gibt uns das Ergebnis, dass die Überlagerung der harmonischen Schwingungen \(y_1(t)\) und \(y_2(t)\) der Kreisfrequenz \(\omega\) wieder eine harmonische Schwingung der selben Kreisfrequenz ist und sich ihre Amplitude \(a\) und Phase \(\varphi\) aus der Addition der komplexen Amplituden \[ a_1 e^{j\varphi_1} + a_2 e^{j\varphi_2} = A_1 + A_2 = A = a e^{j\varphi} \] berechnen lässt.
Wir bestimmen von \(\dfrac{4(3 - j)^*}{(1 + j)(-1 + j)}\) den Real- und den Imaginärteil. \[ \begin{aligned} \frac{4(3 - j)^*}{(1 + j)(-1 + j)} &= \frac{4(3 + j)}{ -1 + j - j + j^2 } = \\ &= \frac{4(3 + j)}{-1 - 1} = -2(3 + j) = \\ &= -6 - 2j \end{aligned} \] Somit lauten Real- den Imaginärteil: \(\text{Re}(z) = -6\), \(\text{Im}(z) = -2\).
Wir bestimmen die Polarform von \(z = -2 - 6j\).
Insgesamt erhalten wir \(z = -2 - 6j = 6{,}32 \cdot e^{j4{,}39}\).
Hier der zugehörige Python Code:
import numpy as np
z = -2 - 6j
r = np.abs(z)
print(f"{r = :.2f}")
phi_1 = np.angle(z) # radian!
phi_2 = np.arctan((-6)/(-2)) + np.pi
print(f"{phi_1 = :.4f}, {phi_2 = :.4f}")
print(f"{phi_1 + 2*np.pi = :.4f}")
phi_2_grad = phi_2*180.0/np.pi
print(f"{phi_2 = :.4f}, {phi_2_grad = :.2f}")r = 6.32
phi_1 = -1.8925, phi_2 = 4.3906
phi_1 + 2*np.pi = 4.3906
phi_2 = 4.3906, phi_2_grad = 251.57Wie lauten die Lösungen der Gleichung \(z^5 = 3 - 4j\)? Skizzieren Sie die Lage der zugehörigen komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene.
Quelle: [1] Kapitel VII, Abschnitt 2, Aufgabe 8c
Lösung: Siehe Abbildung 4.
Gegeben sind die beiden gleichfrequenten Wechselspannungen \(u_1(t) = -50 \sin(\omega t)\) und \(u_2(t) = 200 \sin(\omega t + \frac{\pi}{3})\). Bestimmen Sie mit Hilfe einer Rechnung im Komplexen die durch Superposition entstehende resultierende Wechselspannung.
Quelle: [1] Kapitel VII, Abschnitt 3, Aufgabe 3b
Lösung: \[ \begin{aligned} u_1(t) &= \text{Im}\left( -50 \cdot e^{j\omega t} \right) \\ u_2(t) &= \text{Im}\left( 200 \cdot e^{j(\omega t + \frac{\pi}{3})} \right) = \text{Im}\left( 200 e^{j \frac{\pi}{3}} \cdot e^{j\omega t} \right)\\ -50 + 200 e^{j \frac{\pi}{3}} &= -50 + 200 \cos(\frac{\pi}{3}) + 200 j \sin(\frac{\pi}{3}) = \\ &\simeq 50 + 173{,}20j \\ &= 180{,}28 \cdot e^{j 1{,}2898} \end{aligned} \] Daher ist \(u_1(t) + u_2(t) \simeq 180{,}28 \sin(\omega t + 1{,}2898)\). Hier der zugehörige Python Code:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
omega = 2*np.pi/0.5
t = np.linspace(0, 2, 1000)
u_1 = -50*np.sin(omega*t)
u_2 = 200*np.sin(omega*t + np.pi/3)
plt.figure(figsize=(5, 3))
plt.plot(t, u_1, label="$u_1(t)$")
plt.plot(t, u_2, label="$u_2(t)$")
plt.plot(t, u_1 + u_2, label="$u_1(t) + u_2(t)$")
plt.xlabel("Zeit in s")
plt.ylabel("Spannung in V")
plt.legend()
plt.grid(True)
A = -50 + 200*np.exp(1j*np.pi/3)
a = np.abs(A)
phi = np.angle(A) # radian!
print(f"{a = :.2f}, {phi = :.4f} rad")a = 180.28, phi = 1.2898 rad
Es gibt viele nützliche sogenannte Additionstheoreme, siehe z. B. Wikipedia und [2] Papula Formelsammlung III, 7.6, S. 95, die sich mit komplexen Zahlen leicht herleiten lassen. Hier ein Beispiel: Wir berechnen die beiden Seiten der Gleichung \(e^{j(x+y)} = e^{jx}e^{jy}\), und setzen danach die Real- und Imaginärteile gleich. \[ \begin{aligned} e^{j(x+y)} & = \cos(x+y) + j\sin(x+y) \\ e^{jx}e^{jy} & = \left[ \cos(x) + j\sin(x) \right] \cdot \left[ \cos(y) + j\sin(y) \right] = \\ & = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) + j\left[ \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) \right] \end{aligned} \]
Wir approximieren die Eulersche Zahl \(e = 2{,}7182818\dotsc\) mittels der Potenzreihe \(e^x = \sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {x^{n}}{n!}}\) der Exponentialfunktion auf 5 Kommastellen genau. Für die Definition von \(n!\) siehe z. B. Wikipedia.
Lösung: \(e = e^1 = \sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {1}{n!}} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \dotsc\)
import math
e_approx = 0
for k in [1,2,3,4,5,6,7,8]:
e_approx = e_approx + 1/math.factorial(k)
print(f"e approximiert = {e_approx:.5f}")
print(f"e exakt = {np.exp(1):.5f}...")e approximiert = 1.71828
e exakt = 2.71828...Quellen:
Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Polarform dar:
Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der kartesischen Form dar:
Quelle: [1] Kapitel VII, Abschnitt 2, Aufgaben 1c und 3a
Berechnen Sie den Realteil und den Imaginärteil von \(z = \frac{(1 + j)^2}{3 + 2j}\)
Berechnen Sie für \(x= x + jy\) folgende Größen:
Quelle: [1] Kapitel VII, Abschnitt 2, Aufgaben 2c, 6b und 6d
Quelle: [1] Kapitel VII, Abschnitt 2, Aufgaben 2d und 6f
Wie lauten die Lösungen der Gleichung \(z^3 = 2 + 2j\)?
Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung \(z^2 = -3 + 4j\)
Berechnen Sie die Quadratwurzeln der folgenden komplexen Zahlen \(z\), und machen Sie die Probe:
Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung in \(\mathbb{C}\), und machen Sie die Probe: \[ z^2 - 3z + 3 = j \]
Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung in \(\mathbb{C}\), und machen Sie die Probe: \[ z^4 - 3(1 + 2j)z^2 - 8 + 6j =0 \]
Die gleichfrequenten harmonischen Schwingungen \[ \begin{aligned} y_1 &= 20 \sin \left( \omega t + \frac{\pi}{10} \right) \\ y_2 &= 15 \sin \left( \omega t + \frac{\pi}{ 6} \right) \end{aligned} \] werden zur Überlagerung gebracht. Wie lautet die resultierende Schwingung in der Kosinusform?
Quelle: [1] Kapitel VII, Abschnitt 3, Aufgabe 5
Gegeben sind die beiden gleichfrequenten Wechselspannungen \(u_1(t)\) und \(u_2(t)\). Bestimmen Sie die durch Superposition entstehende resultierende Wechselspannung \(u_1(t) + u_2(t)\) mit Hilfe der komplexen Rechnung: \[ \begin{aligned} u_1(t) & = 100 \sin(\omega t) \\ u_2(t) & = 150 \cos(\omega t - \frac{\pi}{4}) \end{aligned} \] Quelle: [1] Kapitel VII, Abschnitt 3, Aufgabe 3a
Setze \(x = j\varphi\) in die Potenzreihe \(e^x = \sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {x^{n}}{n!}}\) der Exponentialfunktion ein, und vergleiche das Ergebnis mit den Potenzreihen von Sinus und Kosinus: \[ \begin{aligned} \sin(\varphi) & = \frac{\varphi}{1!} - \frac{\varphi^{3}}{3!} + \frac{\varphi^{5}}{5!} - \cdots \\ \cos(\varphi) & = \frac{\varphi^{0}}{0!} - \frac{\varphi^{2}}{2!} + \frac{\varphi^{4}}{4!} - \cdots \end{aligned} \] Schließe daraus die Eulersche Formel \(e^{j\varphi} = \cos(\varphi) + j\sin(\varphi)\).
[1] Kapitel VII:
[3]: Kapitel H Komplexe Zahlen und Funktionen, Abschnitt 1 Komplexe Rechnung: H1 - H7, H9 - H12, H17 - H18, H20 - H22
[4]: Kapitel VI Komplexe Zahlen und Funktionen, Beispiele 1 - 7