Vektorrechnung
Methoden
Vektoren werden sehr vielseitig eingesetzt, um Objekte zu modellieren, die mehr als eine Zahl für ihre Beschreibung benötigen. Beispiele: Punkte, Orts- und Verbindungsvektoren, Ereignisse in der Raumzeit, Zeiger, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, (Dreh-)Impulse, Kräfte, Signale, Zeitreihen, Preise, cash flows, (Einkaufs-)Listen, Zustände eines Systems. Vektoren finden Anwendungen in der analytischen Geometrie, der Physik, der Elektrotechnik, der Statik, der Robotik, der Statistik und Data Science, der Wirtschaft und in vielen anderen Gebieten.
Das Rechnen mit Vektoren ist vergleichsweise einfach und daher leicht am Computer zu implementieren. Zudem lassen sich Vektoren und die davon abgeleiteten Objekte und Methoden anschaulich in Ebene und Raum darstellen.
Vektorraum \(\mathbb{R}^n\)
Ein \(n\)-Vektor ist eine geordnete Liste von \(n\) Zahlen, die Komponenten (auch Elemente oder Koordinaten) genannt werden. Ein Vektor \(a\) wird typischer Weise als Spaltenvektor \[ a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \] oder als Zeilenvektor \[ a = (a_1, a_2, \ldots , a_n) \] geschrieben. Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in allen Komponenten übereinstimmen. Ein Nullvektor ist ein Vektor, dessen Komponenten alle Null sind. Man schreibt verkürzt nur eine Null: \((0, 0, \ldots , 0) = 0\).
Es sind auch andere Notationen für Vektoren üblich: mit eckigen statt runden Klammern, in fetter Schrift und mit einem Strichpunkt oder einem vertikalen Strich statt einem Komma zum Trennen der Komponenten. Oft wird auch ein Pfeil über den Vektor gezeichnet.
Eine Liste von z. B. 300 10er-Vektoren wird üblicherweise mit \(a_1, a_2, \ldots, a_{300}\) bezeichnet. Dann ist der Vektor \(a_k\in\mathbb{R}^{10}\) und man schreibt die ihn it seinen Komponenten als \[ a_k = \begin{pmatrix} a_{k,1} \\ a_{k,2} \\ \vdots \\ a_{k,10} \end{pmatrix}. \]
Der \(\mathbb{R}^n\) ist die Menge aller \(n\)-Vektor mit reellen Komponenten. Er hat die Dimension \(n\), da jeder Vektor aus \(\mathbb{R}^n\) eindeutig durch \(n\) Zahlen, z. B. seine \(n\) Komponenten, beschreibbar ist. Es gilt \(\mathbb{R}^1 = \mathbb{R}\), der Zahlenstrahl. Die Elemente des \(\mathbb{R}^2\) kann man z. B. als Punkte, Ortsvektoren, Verbindungsvektoren oder freie Vektoren der Ebene identifizieren:
- Der Nullvektor ist der (Koordinaten-)Ursprung der Ebene.
- Den Vektor \((3, -2)\) als Punkt zu interpretieren, bedeutet, bei den Koordinaten \(3\) und \(-2\) einen Punkt in das Koordinatensystem einzuzeichnen.
- Ortsvektoren zeichnet man als Pfeile, die vom Ursprung ausgehen und zum zugehörigen Punkt zeigen.
- Die zwei Punkte \(P = (4, 3)\) und \(Q = (5, -2)\) werden durch den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PQ} =\begin{pmatrix} 5 - 4 \\ -2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}\) verbunden, den man als Pfeil von \(P\) nach \(Q\) zeichnet.
- Wenn man den Vektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}\) nicht bei \(P\) “anbindet”, sondern ihn in der Ebene an jeden Angriffspunkt “anbinden” kann, dann interpretiert ihn als freien Vektor.
Analog kann man den \(\mathbb{R}^3\) mit dem Raum identifizieren. Die Vektoren der Ebene schreibt man gerne als \((x, y)\) oder \((a_x, a_y)\) anstatt mit Indizes \((a_1, a_2)\), und jene des Raums gerne als \((x, y, z)\) oder \((a_x, a_y, a_z)\) anstatt mit Indizes \((a_1, a_2, a_3)\). Wir werden uns in dieser Lehrveranstaltung bei den Anwendungen auf die Dimensionen \(n=2\) (Ebene) und \(n=3\) (Raum) einschränken, die Theorie (mit Ausnahme des Kreuzprodukts) aber weiterhin flexibel für alle \(n \in \mathbb{N}\) präsentieren.
Die folgenden zwei Rechenoperationen machen aus der Menge \(\mathbb{R}^n\) einen sogenannten Vektorraum:
- Skalarmultiplikation: Die elementweise Multiplikation eines Skalars (einer Zahl) \(\alpha \in \mathbb{R}\) mit allen Vektorkomponenten liefert wieder einen Vektor: \[ \alpha \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha a_1 \\ \alpha a_2 \\ \vdots \\ \alpha a_n \end{pmatrix} \]
- Addition: Die elementweise Addition zweier Vektoren liefert wieder einen Vektor: \[ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ \vdots \\ a_n + b_n \end{pmatrix} \]
Die Subtraktion \(a - b\) zweier Vektoren ist erklärt als \(a + (-1)b\) und entspricht der elementweise Subtraktion der Komponenten.
Die Interpretation dieser Rechenoperationen hängt davon ab, was die Vektoren modellieren! Interpretiert man Vektoren als Pfeile in der Ebene oder im Raum, dann kann man die Skalarmultiplikation als “Strecken/Stauchen/Umdrehen”, die Addition als “Pfeil-Aneinanderreihung” und die Subtraktion mit der “Spitze minus Schaft”-Regel darstellen, siehe z. B. Wikipedia.
Es gelten die üblichen, intuitiven Rechenregeln: \(\alpha (a + b) = \alpha a + \alpha b\), \((\alpha + \beta)a = \alpha a + \beta a\), \((\alpha \beta)a = \alpha (\beta a) = \beta (\alpha a)\) für \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) und \(a, b \in \mathbb{R}^n\).
Zwei nicht-Null-Vektoren \(a, b \in \mathbb{R}^n\) heißen parallel, wenn \(b = \alpha a\) und \(\alpha > 0\), und antiparallel, wenn \(\alpha < 0.\) In beiden Fällen heißen die Vektoren kollinear.
Ein Ausdruck der Form \(\alpha a + \beta b\) mit \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) und \(a, b \in \mathbb{R}^n\) oder allgemeiner \(\alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 + \ldots + \alpha_k a_k\) mit \(\alpha_i \in \mathbb{R}\) und \(a_i \in \mathbb{R}^n\) heißt Linearkombination der zwei bzw. \(k\) Vektoren. Eine Menge von \(k\) Vektoren \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) heißt linear unabhängig, wenn die Gleichung \(\alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 + \ldots + \alpha_k a_k = 0\) nur die triviale Lösung \(\alpha_i = 0\; \forall i=1, \ldots, k\) hat. Andernfalls heißen die \(k\) Vektoren linear abhängig, und mindestens einer der vorkommenden Vektoren lässt sich als Linearkombination der restlichen ausdrücken. Denn, wenn z. B. \(\alpha_1 \neq 0\), dann kann man aus \(\alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 + \ldots + \alpha_k a_k = 0\) folgendes schließen: \[ \begin{aligned} \alpha_1 a_1 & = - \alpha_2 a_2 - \ldots - \alpha_k a_k \\ a_1 & = \frac{1}{\alpha_1}(- \alpha_2 a_2 - \ldots - \alpha_k a_k) \\ a_1 & = - \frac{\alpha_2}{\alpha_1} a_2 - \ldots - \frac{\alpha_k}{\alpha_1} a_k. \end{aligned} \] Zum Beispiel sind zwei kollineare Vektoren linear abhängig und zwei nicht kollineare Vektoren linear unabhängig.
Inneres Produkt
Eine weitere Rechenoperation stellt das innere Produkt (auch Skalarprodukt genannt, engl. oft inner product oder dot product) dar, das für zwei Vektoren \(a, b \in \mathbb{R}^n\) durch Multiplizieren der entsprechenden Komponenten und anschließendes Aufsummieren eine Zahl, also ein Skalar, liefert. Wir schreiben das innere Produkt von \(a\) mit \(b\) als \[ a \cdot b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots a_n b_n. \] Auch hier sind andere Notationen verbreitet. Es gilt: \(a \cdot b = b \cdot a\), \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\), \(\alpha (a \cdot b) = (\alpha a) \cdot b = a \cdot (\alpha b)\).
Die Länge (Norm, Betrag) \(\lVert a \rVert\) eines Vektors \(a\) wird über den verallgemeinerten Satz von Pythagoras als \[ \lVert a \rVert := \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2} \] definiert und kann mit Hilfe des inneren Produktes als \(\lVert a \rVert = \sqrt{a \cdot a}\) geschrieben werden. Ein Vektor mit Länge eins heißt Einheitsvektor. Falls ein Vektor \(a\) eine Länge \(\lVert a \rVert \neq 0\) hat, kann man ihn durch \(\frac{1}{\lVert a \rVert} a\) auf Länge eins skalieren und so einen zu \(a\) parallelen Einheitsvektor erhalten. Es gilt nämlich die Rechenregel \(\lVert \alpha a \rVert = |\alpha| \lVert a \rVert\) für \(\alpha \in \mathbb{R}\).
Der ungerichtete Winkel \(\varphi \in [0, \pi]\) zwischen zwei nicht-Null-Vektoren \(a\) und \(b\) kann implizit über die Gleichung \[ a \cdot b = \lVert a \rVert \, \lVert b \rVert \cos(\varphi) \tag{1}\] definiert und explizit mit \(\varphi = \arccos\left( \frac{a \cdot b}{\lVert a \rVert \, \lVert b \rVert}\right)\) berechnet werden. Der Term \(\lVert b \rVert \cos(\varphi)\) in Gleichung (1) kann geometrisch als die vorzeichenbehaftete orthogonale (=rechtwinklige) Projektion von \(a\) auf \(b\) interpretiert werden, siehe Abbildung 1. Das innere Produkt \(a \cdot b\) ist geometrisch somit gleich der Länge von \(a\) mal der Projektion von \(a\) auf \(b\).
Aus dieser geometrischen Interpretation ergeben sich einige wichtige Folgerungen für nicht-Null-Vektoren \(a\) und \(b\):
- \(a \cdot b > 0 \iff a\) und \(b\) bilden einen spitzen Winkel \(\varphi \in [0, \frac{\pi}{2})\) im Bogenmaß.
- \(a \cdot b = 0 \iff a\) ist normal (orthogonal, rechtwinklig) auf \(b\), also \(\varphi = \frac{\pi}{2}\) im Bogenmaß. Man schreibt dies auch als \(a \perp b\).
- \(a \cdot b < 0 \iff a\) und \(b\) bilden einen stumpfen Winkel \(\varphi \in (\frac{\pi}{2}, \pi]\) im Bogenmaß.
Da mit dem inneren Produkt Längen und Winkel berechnet werden können, wird durch das innere Produkt die euklidische Geometrie “berechenbar”, d. h. analytisch, vgl. Kapitel 1.1.4.
In der Ebene \(\mathbb{R}^2\) bilden die Vektoren \(e_x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(e_y = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) die sogenannte Standardbasis und heißen Standardbasisvektoren. Sie sind aufeinander normal und haben die Länge eins. Beides zusammen macht sie zu einem Orthonormalsystem. Im Raum \(\mathbb{R}^3\) bilden die Standardbasisvektoren \(e_x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(e_y = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\) und \(e_z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) ein Orthonormalsystem.
Kreuz- und Spatprodukt
Im dreidimensional Raum \(\mathbb{R}^3\) gibt es noch ein weiteres Produkt von zwei Vektoren, das sogenannte Kreuzprodukt, auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt genannt. Es liefert als Ergebnis keine Zahl, sondern wieder einen dreidimensionalen Vektor: \[ a \times b = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ - (a_x b_z - a_z b_x) \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix} \] Der Vektor \(a \times b\) ist geometrisch eindeutig durch die folgenden Eigenschaften bestimmt, vgl. Wikipedia und siehe Abbildung 2:
- \((a \times b) \perp a\) und \((a \times b) \perp b\).
- \(\lVert (a \times b) \rVert\) ist gleich dem Flächeninhalt \(\lVert a \rVert \, \lVert b \rVert \sin(\varphi)\) des von \(a\) und \(b\) aufgespannten Parallelogramms.
- \((a, b, a \times b)\) bilden ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel).
Es gelten die folgenden Rechenregeln:
- \(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\)
- \((a + b) \times c = a \times c + b \times c\)
- \(a \times b = - b \times a\)
- \(\alpha (a \times b) = (\alpha a) \times b = a \times (\alpha b)\)
Weiters gilt \(a \times b = 0 \iff a\) und \(b\) sind kollinear und somit linear abhängig. Das Kreuzprodukt wird zum Beispiel verwendet, um in der Mechanik Drehimpuls und Drehmoment zu definieren und um in der Elektrotechnik die Lorentz-Kraft zu beschreiben.
Mit dem sogenannten Spatprodukt kann man das Volumen des durch die drei räumliche Vektoren \(a, b, c \in \mathbb{R}^3\) aufgespannten Spats (Parallelepipeds) zu berechnen, siehe Abbildung 3.
Das Spatprodukt von \(a, b\) und \(c\) ist definiert als \[ [a, b, c] := (a \times b) \cdot c. \] Es gilt \([a, b, c] = (a \times b) \cdot c = \lVert a \times b \rVert \lVert c \rVert \cos(\beta)\), wobei \(\beta\) den Winkel zwischen \(a \times b\) und \(c\) bezeichnet. Der Terme \(\lVert a \times b \rVert\) ist gleich dem Flächeninhalt \(G\) des von \(a\) und \(b\) aufgespannten Parallelogramms, und \(\lVert c \rVert \cos(\beta)\) ist im Betrag gleich der Höhe \(h\) des Spats. Somit erhalten wir \(|[a, b, c]| = Gh = V\) dem Volumen des Spats.
Es gilt \([a, b, c] = 0 \iff a, b, c\) sind linear abhängig. \(\iff\) Der von \(a, b, c\) aufgespannte Spat hat Null Volumen. \(\iff a, b, c\) liegen in einer Ebene.
Analytische Geometrie
Geraden
Eine Gerade in der Ebene kann neben der Form \(y = kx + d\) auch in Parameterform und in Normalvektorform angegeben werden:
- Parameterform: Jeder Punkt \(X \in \mathbb{R}^2\) der Gerade ist die Summe aus einem gegebenen Punkt \(P \in \mathbb{R}^2\) der Geraden und einem Vielfachen \(\lambda \in \mathbb{R}\) des gegebenen Richtungsvektors \(r \in \mathbb{R}^2\): \[ X = P + \lambda r \] zum Beispiel: \[\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
- Normalvektorform: Gegeben ist ein Punkt \(P \in \mathbb{R}^2\) der Geraden und ein Normalvektor \(n \in \mathbb{R}^2\) der Geraden. Dann ist der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PX}\) von \(P\) zu einem Punkt \(X \in \mathbb{R}^2\) der Geraden normal auf den Normalvektor \(n\): \[ \begin{aligned} n \cdot \overrightarrow{PX} & = 0 \\ n \cdot (X - P) & = 0 \\ n \cdot X - n \cdot P & = 0 \\ n \cdot X & = n \cdot P \end{aligned} \] zum Beispiel: \[ \begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \\ 2x + y & = 8 \end{aligned} \]
Bemerkung: In der Ebnen kann man ein Vektor \((a_x, a_y)\) leicht um \(90^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn oder \(90^\circ\) im Uhrzeigersinn drehen: \((-a_y, a_x)\) bzw. \((a_y, -a_x)\).
Eine Gerade im Raum kann in Parameterform \(X = P + \lambda r \in \mathbb{R}^3\) oder als Schnitt zweier Ebenen angegeben werden.
Ebenen
Eine Ebene im Raum in Parameterform und in Normalvektorform angegeben werden:
Parameterform: Jeder Punkt \(X \in \mathbb{R}^3\) der Ebene ist die Summe aus einem gegebenen Punkt \(P \in \mathbb{R}^3\) der Ebene, einem Vielfachen \(\lambda \in \mathbb{R}\) eines ersten gegebenen Richtungsvektors \(a \in \mathbb{R}^3\) und dem Vielfachen \(\mu \in \mathbb{R}\) eines zweiten, nicht kollinearen gegebenen Richtungsvektors \(b \in \mathbb{R}^3\): \[ X = P + \lambda a + \mu b \]
Normalvektorform: Eine zum Fall der Geraden in der Ebene analoge Argumentation führt zur analogen Gleichung \[ n \cdot X = n \cdot P \] im Raum, zum Beispiel: \[ \begin{aligned} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ 3x + y + 4z & = 7 \end{aligned} \]
Kreise und Kugeln
Der Kreis in der Ebene mit Radius \(r > 0\) und Mittelpunkt \(M = (u, v)\) besteht aus allen Punkten \(X = (x, y)\) der Ebene, deren Abstand zum Mittelpunkt gleich dem Radius ist, d. h. \[ \begin{aligned} \lVert \overrightarrow{MX} \rVert & = r \\ \lVert X - M \rVert & = r \\ \lVert (x - u, y - v) \rVert & = r \\ \sqrt{ (x - u)^2 + (y - v)^2} & = r \\ (x - u)^2 + (y - v)^2 & = r^2 \\ \end{aligned} \] Eine analoge Argumentation führt zur Gleichung \((x - u)^2 + (y - v)^2 + (z - w)^2 = r^2\) einer Kugel im Raum.
Beispiele
Längen, Winkel, Flächeninhalt
Durch die drei Punkte \(A=(1,4,-2)\), \(B=(3,1,0)\) und \(C=(-1,1,2)\) werden die Ecken eines Dreiecks festgelegt. Berechnen Sie die Längen der drei Seiten, die Innenwinkel sowie den Flächeninhalt des Dreiecks.
Quelle: [1] Kapitel II, Abschnitt 2 und 3, Aufgabe 17
Lösung: Siehe Abbildung 4 und Abbildung 5.
Lineare Abhängigkeit
Zeigen Sie jeweils, dass die Vektoren linear abhängig sind.
- \(a = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(b = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -9 \end{pmatrix}\)
- \(a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(b = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(c = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Quelle: [1] Kapitel II, Abschnitt 2+3, Aufgabe 31
Lösung:
- Die Vektoren sind eine Vielfaches voneinander: \(b = -3a\). Daher sind sie kollinear und linear abhängig.
- Das Spatprodukt \([a, b, c]\) der drei Vektoren ergibt Null: \[ \begin{aligned} \left[a, b, c \right] &= (a \times b) \cdot c = \\ &= \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 1 \end{pmatrix} = \\ &= \begin{pmatrix} 16 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 1 \end{pmatrix} = \\ &= 80 - 80 = 0. \end{aligned} \] Daher hat das von ihnen aufgespannte Parallelepiped kein Volumen. Die Vektoren liegen daher in einer Ebene und sind linear abhängig.
Lineare (Un-)Abhängigkeit
Sei \(v_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\) und \(v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\).
- Bestimmen Sie, ob die Vektoren \(v_i\) linear (un)abhängig sind.
- Falls möglich finden Sie eine Linearkombination \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) nicht Null, so dass \(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 = 0\).
Lösung:
Die Vektoren \(v_i\) sind linear abhängig, da \([v_1, v_2, v_3] = 0\). Das lineare Gleichungssystem \(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 = 0\) für die Koeffizienten \(\alpha_i \in \mathbb{R}\) hat daher nicht-triviale Lösungen. In Komponenten ausgeschrieben lautet die Vektorgleichung \(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 = 0\) \[ \alpha_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + \alpha_3 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \] In Gleichungsform: \[ \begin{aligned} 1 \alpha_1 + 4 \alpha_2 + 2 \alpha_3 & = 0 \\ 2 \alpha_1 + 5 \alpha_2 + 1 \alpha_3 & = 0 \\ 3 \alpha_1 + 6 \alpha_2 + 0 \alpha_3 & = 0 \end{aligned} \] Das lineare Gleichungssystem lässt sich z. B. mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren lösen. Der Lösungsraum ist eindimensional und kann z. B. mit \(\alpha_3\) parametrisiert werden: \[ \begin{aligned} \alpha_1 & = 2 \alpha_3 \\ \alpha_2 & = - \alpha_3 \\ \alpha_3 & = \text{frei wählbar} \end{aligned} \] Das lineare Gleichungssystem \(\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 = 0\) hat daher auch nicht-triviale Lösungen, z. B. mit \(\alpha_3 = -1\) gilt \(-2 v_1 + v_2 - v_3 = 0\).
Gerade und Ebene
Welche Lage haben die Gerade \(g\) und die Ebene \(E\) zueinander? Bestimmen Sie gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel. \[ \begin{aligned} g: &\; X = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} \\ E: &\; \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 1 \\ z - 1 \end{pmatrix} = 0 \end{aligned} \] Quelle: [1] Kapitel II, Abschnitt 4, Aufgabe 19b
Lösung: Zur Bestimmung der Lage von Gerade und Ebene berechnen wir das innere Produkt des Richtungsvektors der Geraden mit dem Normalvektor der Ebene: \[ \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = 6 - 5 - 1 = 0. \] Die beiden Vektoren sind daher orthogonal zueinander, und die Gerade ist parallel zur Ebene. Um ihren Abstand voneinander zu bestimmen, berechnen wir das innere Produkt des auf Länge eins skalierten Normalvektors der Ebene mit dem Verbindungsvektor zwischen dem gegebenen Punkt der Ebene und dem gegeben Punkt der Geraden: \[ \frac{1}{\sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 3 - 1 \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \frac{5}{\sqrt{11}} = 1{,}51. \] Gerade und Ebene sind somit im Abstand 1,51 parallel.
Ebene und Punkt
Eine Ebene \(E\) geht durch den Punkt \(P = (1, 2, 3)\). Ihr Normalvektor sein \(n = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ a \end{pmatrix}\). Wie groß muss \(a\) sein, sodass der Abstand des Punktes \(Q = (0, 2, 5)\) von der Ebene 2 beträgt?
Lösung: Der Abstand \(d\) muss die Bedingung \(d = \left\lvert \frac{1}{\sqrt{2^2 + 1^2 + a^2}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 - 0 \\ 2 - 2 \\ 3 - 5 \end{pmatrix} \right\rvert = 2\) erfüllen. Dies führt zur Gleichung \(|1 - a| = \sqrt{5 + a^2}\), die durch Quadrieren zu \(1 - 2a + a^2 = 5 + a^2\) und schließlich zu \(a=-2\) wird. Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung \(|1 - a| = \sqrt{5 + a^2}\) zeigt, dass \(a=-2\) tatsächlich eine Lösung ist.
Geometrische Figuren
Welche geometrischen Figuren werden durch die folgenden Gleichungen beschrieben?
- \(x^2 - 6x + y^2 + 8y = 0\)
- \(9x^2 - 36x + 4y^2 + 24y + 36 = 0\)
Lösung:
- Durch Quadratische Ergänzung erhalten wir: \[ \begin{aligned} x^2 - 6x + y^2 + 8y & = 0 \\ (x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 & = 0 \\ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 & = 25 \\ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 & = 5^2 \end{aligned} \] Die Gleichung beschreibt einen Kreis mit Mittelpunkt \((3, -4)\) und Radius 5.
- Durch Quadratische Ergänzung erhalten wir: \[ \begin{aligned} 9x^2 - 36x + 4y^2 + 24y + 36 & = 0 \\ 9(x^2 - 4x) + 4(y^2 + 6y) + 36 & = 0 \\ 9((x - 2)^2 - 4) + 4((y + 3)^2 - 9) + 36 & = 0 \\ 9(x - 2)^2 - 36 + 4(y + 3)^2 - 36 + 36 & = 0 \\ 9(x - 2)^2 + 4(y + 3)^2 & = 36 \\ \frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y + 3)^2}{9} & = 1 \end{aligned} \] Die Gleichung beschreibt eine verschobene Ellipse mit Mittelpunkt \(M=(2, -3)\) und Halbachsen \(a=2\) und \(b=3\).
Aufgaben
Rechnen im Vektorraum
Gegeben sind die Vektoren \(u = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(v = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}\).
- Berechnen Sie \(-v\), \(-2v\), \(u + v\), \(u - v\) und \(u - 2v\).
- Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse grafisch.
Vektorgleichung und lineares Gleichungssystem
Welchem linearen Gleichungssystem entspricht die Vektorgleichung \[ x \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \\ -5 \end{pmatrix}, \] und bestimmen Sie seine Lösungsmenge.
Linearkombination
Schreiben Sie den Vektor \(v = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}\) als eine Linearkombination von zwei Vektoren, von denen einer auf der Geraden \(y = \frac{x}{2}\) und der andere auf der Geraden \(y = 2x\) liegt. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis grafisch.
Winkel
- Welchen Winkel schließen die Vektoren \(a = \begin{pmatrix} 10 \\ -5 \\ 10 \end{pmatrix}\) und \(b = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\) miteinander ein?
- Zeigen Sie, dass die drei Vektoren \(a = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(b = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(c = \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix}\) ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Welche Vektoren sind Katheten, und welcher Vektor ist die Hypothenuse?
Quelle: [1] Kapitel II, Abschnitt 2+3, Aufgaben 11b und 15
Winkel
- Welchen Winkel schließen die Vektoren \(a = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(b = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) miteinander ein?
- Zeigen Sie, dass die Vektoren \(a = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) und \(b = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}\) zueinander orthogonal sind.
Quelle: [1] Kapitel II, Abschnitt 2+3, Aufgaben 11a und 12a
Orthonormiertes System
Zeigen Sie: Die Vektoren \(a = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 0 \\-1/\sqrt{2}\end{pmatrix}, c = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) bilden ein orthonormiertes System, d. h. die Vektoren stehen paarweise senkrecht aufeinander und besitzen jeweils die Länge 1.
Quelle: [1] Kapitel II, Abschnitt 2-3, Aufgabe 14
Volumen
Bestimmen Sie das Volumen des von den Vektoren \(a = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(b = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}\) und \(c = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -8 \end{pmatrix}\) gebildeten Parallelepipeds (=Spats).
Quelle: [1] Kapitel II, Abschnitt 2+3, Aufgabe 28
Spatprodukt
Zeigen Sie mit Hilfe des Spatprodukts: Die Vektoren \(a = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(b = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) und \(c = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 25 \end{pmatrix}\) liegen in einer gemeinsamen Ebene.
Quelle: [1] Kapitel II, Abschnitt 2+3, Aufgabe 27a
Lineare Abhängigkeit
Zeigen Sie: Die Vektoren sind linear abhängig: \(a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix}-1 \\-2 \\ 3 \end{pmatrix}, c = \begin{pmatrix} 5 \\10 \\ 1 \end{pmatrix}\).
Quelle: [1] Kapitel II, Abschnitt 2-3, Aufgabe 31
Gerade und Ebene
Gegeben sind eine Gerade \(g\) und eine Ebene \(E\): \[ \begin{aligned} g: &\; X = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \\ E: &\; 2x + y + z = 1 \end{aligned} \]
- Zeigen Sie, ohne einen Schnittpunkt zu berechnen, dass sich die Gerade und die Ebene schneiden.
- Berechnen Sie den Schnittpunkt sowie den Schnittwinkel.
Quelle: [1] Kapitel II, Abschnitt 4, Aufgabe 23:
Gerade und Ebene
Eine Ebene enthält den Punkt \(P = (2, 1, 8)\) und hat den Normalvektor \(n = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix}\).
- Zeigen Sie, dass die Gerade \(g: X = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) zu dieser Ebene parallel ist.
- Wie groß ist der Abstand zwischen Gerade und Ebene?
Schnittpunkt zweier Geraden
Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden \[ \begin{aligned} 2x - 3y & = 8 \\ -x + 4y & = -9 \end{aligned} \] und überprüfen Sie Ihr Ergebnis grafisch.
Ebenengleichung
Berechnen Sie die Gleichung jener Ebene, die alle drei Koordinatenachsen im selben Abstand vom Ursprung schneidet und durch den Punkt \(P = (3, -4, 7)\) geht.
Abstand zweier Ebenen
Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Ebenen parallel sind, und berechnen Sie ihren Abstand. \[ \begin{aligned} E_1 : \text{Punkt } P_1 = (3, 5, 6), \text{Normalvektor } n_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \\ E_2 : \text{Punkt } P_2 = (1, 5, -2), \text{Normalvektor } n_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ -9 \\ 6 \end{pmatrix} \end{aligned} \]
Normalvektor und Ebene
Ein Normalvektor schließt mit der \(x\)-Achse einen Winkel von 60° ein und mit der \(y\)-Achse einen Winkel von 70°. Der Winkel mit der \(z\)-Achse liegt zwischen 0° und 90°.
- Berechnen Sie den Normalvektor.
- Bestimmen Sie die Ebene mit diesem Normalvektor, die den Punkt \(P = (1, 1, 1)\) enthält.