Methoden

Motivation

Oft ist nicht (nur) der Wert einer Größe \(y\) in Abhängigkeit einer anderen Größe \(x\) interessant sondern die Änderung der Outputgröße \(y\) im Verhältnis zur Änderung der Inputgröße \(x\). Man arbeitet dann mit Begriffen wie (Änderungs-)Rate, Geschwindigkeit, Trend, Steigung, Preis, Fluss, spezifische Größe, (z. B. Wärme-)Kapazität, Ableitung, partielle Ableitung, totale Ableitung, Differential, Gradient, etc..

Hier eine Auswahl an Anwendungen der Differentialrechnung:

  • Physik, Chemie, Technik: Mechanik, Thermodynamik, Elektrodynamik etc.
  • Beschreibung von kontinuierlichen dynamischen Systemen in Natur, Technik und Wirtschaft durch gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen
  • Beschreibung von Änderungsraten
  • lineare Approximation von Funktionen
  • Taylorreihe: polynomiale Approximation von Funktionen
  • Nicht-lineare Optimierung
  • Variationsrechnung, Theorie der optimalen Steuerungen
  • Numerisches Lösen von nicht-linearer Gleichungen und Gleichungssystemen

Zur Geschichte der Differentialrechnung hier ein kurzer Auszug aus Wikipedia: “Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz mit unterschiedlichen Ansätzen unabhängig voneinander, widerspruchsfrei funktionierende Kalküle zu entwickeln. Während Newton das Problem physikalisch über das Momentangeschwindigkeitsproblem anging, löste es Leibniz geometrisch über das Tangentenproblem.”

Lineare Approximation

Wir approximieren die Änderung des Funktionswertes einer Funktion bei einer bestimmten Stelle (Inputwert, Arbeitspunkt) in linearer Weise. Die lineare und polynomiale Approximation der Funktion selbst folgt später, siehe Tangente und Taylorreihe.

Wir beschreiben die Methodik am Beispiel der Funktion \(y = f(x) = x^2\), und bestimmen die lineare Approximation der Funktionswertänderung bei \(x_0 = 1\) bei einer Inputänderung von \(\Delta x = 1\). In Abbildung 1 ist die Funktion, die Stelle, die Inputänderung \(\Delta x\), sowie die exakte (\(\Delta y\)) und die linear approximierte (\(\text{d}y\)) Funktionswertänderung dargestellt.

Abbildung 1: Lineare Approximation der Funktionswertänderung am Beispiel \(y = f(x) = x^2\) an der Stelle \(x_0 = 1\).

Nomenklatur:

  • \(x_0\) ist die Stelle (Argument, Inputwert, Arbeitspunkt), an der die Änderung der Funktion linear approximiert wird.
  • \(\Delta x\) ist die frei gewählte Differenz (Änderung) der unabhängigen Inputgröße (Variablen) \(x\) bei \(x_0\).
  • \(\text{d}x\) ist die lineare Approximation von \(\Delta x\), genannt das unabhängige Differential. Da \(x\) keine Funktion einer anderen Größe ist, d. h. \(x\) ist eine unabhängige Variable, ist die Approximation fehlerfei und man erhält \(\text{d}x = \Delta x\). Wir schreiben vorwiegend \(\text{d}x\).
  • \(\Delta y\) ist die exakte Differenz (Änderung) der Outputgröße \(y\) bei Änderung der Inputgröße um \(\Delta x\) bei \(x_0\).
  • \(\text{d}y\) ist die lineare Approximation von \(\Delta y\), genannte das abhängige Differential, oft auch \(\text{d}f\) geschrieben.

Erste Ableitung

Die exakte Differenz berechnet sich als \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\) und hängt im allgemeinen nicht-linear von \(\Delta x\) ab. Die lineare Approximation dieser Abhängigkeit ist von der Form \(\text{d}y = k\,\text{d}x\) für eine bestimmte Zahl \(k\), vgl. die Geradengleichung \(y = kx + d\) mit \(d=0\), weil \(\Delta y = 0\) bei \(\Delta x = 0\). Die Zahl \(k\) heißt die erste Ableitung der Funktion \(f\) bei \(x_0\) und wird als \(f'(x_0)\) geschrieben: \[ \text{d}y = f'(x_0)\,\text{d}x \] Durch Umformen folgt \(f'(x_0) = \frac{\text{d}y}{\text{d}x}\), vgl. Abbildung 1.

Bemerkungen:

  • Für nicht-lineare Funktionen gilt im Allgemeinen \(\Delta y \neq \text{d}y\).
  • Für lineare Funktionen gilt immer \(\Delta y = \text{d}y\).
  • Je kleiner \(\text{d}x\) umso besser approximiert \(\text{d}y\) den wahren Wert \(\Delta y\).

Die erste Ableitung \(f'(x_0)\) der Funktion \(f\) bei \(x_0\) gibt die Änderungsrate von \(f\) bei \(x_0\) pro \(x\)-Einheit an und entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von \(f\) bei \(x_0\). Wird die Stelle \(x_0\) nicht spezifiziert, so erhält man die erste Ableitung als Funktion von \(x\) und schreibt \(f'(x)\) oder kurz \(f'\). Oft wird auch \(y'(x_0)\), \(y'(x)\), \(y'\), \(\dot{y}(x_0)\), \(\dot{y}(x)\), oder \(\dot{y}\) sowie \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\), \(\frac{\text{d}f}{\text{d}x}\) etc. verwendet.

Die erste Ableitung (die Steigung der Tangente) \(f'(x_0) = \frac{\text{d}y}{\text{d}x}\) ist der Grenzwert des Differenzenquotienten (der Steigung der Sekante) \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) für \(\Delta x \to 0\): \[ f'(x_0) = \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \] Der Quotient \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\) wird Differentialquotient genannt.

Beispiel: Wir berechnen zuerst den Differenzenquotienten der Funktion \(f(x) = x^2\) bei einem \(x_0\): \[ \begin{aligned} \frac{\Delta y}{\Delta x} & = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \\ & = \frac{(x_0 + \Delta x)^2 - x_0^2}{\Delta x} \\ & = \frac{x_0^2 + 2 x_0 \Delta x + \Delta x^2 - x_0^2}{\Delta x} \\ & = \frac{2 x_0 \Delta x + \Delta x^2}{\Delta x} \\ & = 2 x_0 + \Delta x \end{aligned} \] Zur Berechnung der ersten Ableitung \(f'(x_0)\) bestimmen wir den Grenzwert des Differenzenquotienten für \(\Delta x \to 0\): \[ f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} (2 x_0 + \Delta x) = 2 x_0 \] Da \(x_0\) beliebig war, können wir dieses Resultat auch in der bekannteren Form \(f'(x) = 2x\) schreiben, oder kurz \((x^2)' = 2x\).

Ableitung elementarer Funktionen:

Die Ableitungen in Tabelle 1 auswendig zu können, ist sehr hilfreich.

Tabelle 1: Ableitung elementarer Funktionen
\(f(x)\) \(f'(x)\)
Konstante \(k\) \(0\)
Potenzfunktion \(x^n\) \(nx^{n-1}\)
\(\sqrt{x} = x^\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}\)
\(e^x\) \(e^x\)
\(\ln(x)\) \(\frac{1}{x}\)
\(\sin(x)\) \(\cos(x)\)
\(\cos(x)\) \(-\sin(x)\)

Für alle weiteren Funktionen reicht es zu wissen, dass und wo man ihre Ableitung in Tabellen wie Tabelle 2 nachschlagen kann.

Tabelle 2: Ableitung weiterer Funktionen
\(f(x)\) \(f'(x)\)
\(\tan(x)\) \(\frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)\)
\(\cot(x)\) \(-\frac{1}{\sin^2(x)} = -(1 + \cot^2(x))\)
\(\arcsin(x)\) \(\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)
\(\arccos(x)\) \(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)
\(\arctan(x)\) \(\frac{1}{1 + x^{2}}\)
\(\sinh(x)\) \(\cosh(x)\)
\(\cosh(x)\) \(\sinh(x)\)

Noch mehr Ableitungstabellen finden Sie in der Literatur und im Internet, z. B in Wikipedia und in [1].

Ableitungsregeln:

Mit den Ableitungstabellen und den folgenden Ableitungsregeln lassen sich die auch zusammengesetzte Funktionen problemlos ableiten.

  • Faktorregel: Für jede Konstante \(c\) gilt: \[ [cf]'(x) = cf'(x) \] Beispiel: \((3x^2)' = 3(x^2)' = 3\cdot 2x = 6x\)
  • Summenregel: \[ [f + g]'(x) = f'(x) + g'(x) \] Beispiel: \([\sin(x) + e^x]' = [\sin(x)]' + (e^x)' = \cos(x) + e^x\)
  • Produktregel: \[ [f \cdot g]'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \] Beispiel: \([\sin(x) \cdot e^x]' = \cos(x) \cdot e^x + \sin(x) \cdot e^x\)
  • Quotientenregel: \[ \left[ \frac{f}{g} \right]'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)} \] Beispiel: \(\left[ \frac{\sin(x)}{e^x} \right]' = \frac{\cos(x) \cdot e^x - \sin(x) \cdot e^x}{e^{2x}} = \frac{\cos(x) - \sin(x)}{e^{x}}\)
  • Kettenregel: \[ [f\circ g]'(x) = [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \] Beispiel: \([\sin(3x^2 + 4x)]'=\cos(3x^2 + 4x) \cdot (6x + 4)\)

Monotonie und Krümmung

Aus der ersten Ableitung \(f'(x)\) kann man auf die Monotonie der Funktion schließen, siehe Abbildung 2:

  • Ist bei \(x_0\) die erste Ableitung \(f'(x_0) > 0\), dann wächst \(f\) bei \(x_0\) streng monoton.
  • Ist bei \(x_0\) die erste Ableitung \(f'(x_0) < 0\), dann fällt \(f\) bei \(x_0\) streng monoton.

Die erste Ableitung \(f'(x)\) kann als Funktion von \(x\) wieder abgeleitet werden. Man erhält die zweite Ableitung \(f''(x)\), die geometrisch die Krümmung des Funktionsgraphen an jeder Stelle \(x\) angibt, siehe Abbildung 2:

  • Ist bei \(x_0\) die zweite Ableitung \(f''(x_0) > 0\), dann ist \(f\) bei \(x_0\) linksgekrümmt.
  • Ist bei \(x_0\) die zweite Ableitung \(f''(x_0) < 0\), dann ist \(f\) bei \(x_0\) rechtsgekrümmt.
Abbildung 2: Monotonie und Krümmung

Eine Stelle \(x_0\), bei der sich die Krümmung (der Drehsinn) ändert, heißt Wendepunkt. Wendepunkte mit waagrechter Tangente heißen Sattelpunkte, siehe Abbildung 3.

Abbildung 3: Wendepunkt und Sattelpunkt

Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt: \(f''(x_0)=0\) und \(f'''(x_0) \neq 0\) \(\implies\) \(x_0\) ist ein Wendepunkt.

Achtung: Die Umkehrung gilt nicht! Zum Beispiel hat die Funktion \(f(x)= x^5\) bei \(x_0 = 0\) einen Wendepunkt und \(f''(x_0)=0\), aber \(f'''(x_0) = 0\).

Relative Extremwerte

Eine Funktion \(f\) besitzt bei \(x_0\) ein relatives (=lokales) Maximum bzw. relatives Minimum, wenn in einer Umgebung von \(x_0\) folgendes gilt: \[ f(x_0) \geq f(x) \quad \text{bzw.} \quad f(x_0) \leq f(x) \] für alle \(x\) der Umgebung. Relative Maxima und Minima heißen relative Extremwerte der Funktion.

Notwendige Bedingung (notwendiges Optimalitätskriterium) für einen relativen Extremwert: \(x_0\) ist relativer Extremwert von \(f\) \(\implies\) \(f'(x_0) = 0\), d. h. waagrechte Tangente bei \(x_0\).

Achtung: Die Umkehrung gilt nicht! Zum Beispiel hat die Funktion \(f(x)= x^3\) bei \(x_0 = 0\) zwar eine waagrechte Tangente aber keinen relativen Extremwert.

Hinreichende Bedingung (hinreichendes Optimalitätskriterium) für einen relativen Extremwert:

  • \(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) > 0\) \(\implies\) \(f\) hat bei \(x_0\) ein relatives Minimum.
  • \(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) < 0\) \(\implies\) \(f\) hat bei \(x_0\) ein relatives Maximum.

Achtung: Auch hier gilt die Umkehrung nicht! Zum Beispiel hat die Funktion \(f(x)= x^4\) bei \(x_0 = 0\) ein relatives Minimum, aber \(f''(x_0) = 0\).

Höhere Ableitungen brauchen wir auch. Man schreibt die \(n\)-te Ableitung von \(f\) für große \(n\) gerne als \(f^{(n)}\).

In Abbildung Abbildung 4 sind die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für relative Extremwerte als Mengendiagramm zusammengefasst.

Abbildung 4: Notwendige und hinreichende Bedingungen für relative Extremwerte als Mengendiagramm

Allgemeines Kriterium für einen relativen Extremwert: Sei \(f'(x_0) = 0\) und die nächste nichtverschwindende (=nicht-Null) Ableitung bei \(x_0\) sie die \(n\)-te Ableitung \(f^{(n)}(x_0)\) mit \(n > 1\). Dann ist \(x_0\) ein relativer Extremwert, wenn \(n\) gerade ist, und es gilt dann:

  • \(x_0\) ist ein relatives Minimum, falls \(f^{(n)}(x_0) > 0\).
  • \(x_0\) ist ein relatives Maximum, falls \(f^{(n)}(x_0) < 0\).

Ist \(n\) ungerade, dann ist \(x_0\) ein Sattelpunkt.

Extremwertaufgaben:

  • Die zu maximierende oder minimierende Zielfunktion hängt typischerweise von zwei Inputgrößen ab. Durch eine Nebenbedingung kann die Zielfunktion auf eine Inputgröße reduziert werden.
  • Die resultierende Zielfunktion ist typischerweise nur auf einem Intervall definiert. Die inneren relativen Extremwerte werden mittels Differentialrechnung bestimmt. Diese werden mit den Funktionswerten an den Randpunkten des Intervalls verglichen.

Eine Kurvendiskussion beinhaltet: Definitionsbereich, Bildmenge, Graph, Symmetrie, Nullstellen, Pole, relative Extremwerte, Wendepunkte, Sattelpunkte, Verhalten für \(x \to \pm\infty\), Asymptoten.

Taylorreihe

Wir betrachten eine Funktion \(f(x)\) mit einer Inputvariablen \(x\). Der Funktionswert kann in der Umgebung einer frei gewählten Inputstelle \(x_0\) mittels der sogenannten Taylorreihe(nentwicklung) durch ein Polynom \(k\)-ter Ordnung approximiert werden, sodass der Funktionswert und alle Ableitungen bis inkl. \(k\)-ter Ordnung bei \(x_0\) übereinstimmen.

  • Beispiel: Taylorreihe dritter Ordnung, d. h. Polynom dritter Ordnung: \[ \begin{aligned} f(x) = & f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2 + \\ & \frac{1}{6}f'''(x_0)(x - x_0)^3 + \text{Fehler} \end{aligned} \] Überprüfen Sie durch Ableiten dieser Gleichung, dass der Funktionswert und die Ableitungen bis inkl. dritter Ordnung bei \(x_0\) übereinstimmen.
  • Die Taylorreihe 1. Ordnung entspricht der Tangente an den Graphen von \(f\) bei \(x_0\): \[ f_{\text{Tang.}}(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \]
  • Die Taylorreihe 2. Ordnung entspricht der Schmiegeparabel an den Graphen von \(f\) bei \(x_0\): \[ f_{\text{Parab.}}(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2 \]
  • unendliche Taylorreihe: \[ f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0)(x - x_0)^k. \]

Beispiele:

  • Exponentialfunktion bei \(x_0 = 0\): \(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \ldots = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\)
  • Sinus bei \(x_0 = 0\): \(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots\), siehe Abbildung 5
  • Kosinus bei \(x_0 = 0\): \(\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots\)
  • vgl. \(e^{i\varphi} = \cos(\varphi) + i\sin(\varphi)\)
  • siehe Wikipedia
Code 
x = np.linspace(-4, 4, num=100)
def f_1(x):
    return x
def f_3(x):
    return x - 1/(3*2*1)*x**3
def f_5(x):
    return x - 1/(3*2*1)*x**3 + 1/(5*4*3*2*1)*x**5

plt.figure(figsize=(5, 4))
plt.plot(x, np.sin(x), linewidth=3, label="$\sin(x)$")
plt.plot(x, f_1(x), label="f_1(x)")
plt.plot(x, f_3(x), label="f_3(x)")
plt.plot(x, f_5(x), label="f_5(x)")
plt.xlabel("$x$")
plt.legend()
plt.grid(True)
Abbildung 5: Taylorreihe der Sinusfunktion bei \(x_0 = 0\).

Grenzwertregeln

Beispiel: Der \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\) lässt sich nicht direkt berechnen, da \(e^0 - 0 = 0\) und somit der Bruch bei \(x=0\) von der undefinierten Form “\(\frac{0}{0}\)” ist. Der Grenzwert lässt sich aber mit den Grenzwertregeln von Bernoulli und de L’Hospital berechnen, die mit Hilfe der Taylorreihe wie folgt für den Typ “\(\frac{0}{0}\)” herleitbar sind.

Seien \(f\) und \(g\) zwei Funktion, die beide bei \(x_0\) eine Nullstelle haben. Dann lässt sich ihr Quotient so umformen: \[ \begin{aligned} \frac{f(x)}{g(x)} & = \frac{f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2 + \cdots}{g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2}g''(x_0)(x - x_0)^2 + \cdots} = \\ & = \frac{f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2 + \cdots}{g'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2}g''(x_0)(x - x_0)^2 + \cdots} = \\ & = \frac{f'(x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0) + \cdots}{g'(x_0) + \frac{1}{2}g''(x_0)(x - x_0) + \cdots} \end{aligned} \] Dabei wurde verwendet, dass \(f(x_0) = 0\) und \(g(x_0) = 0\) sind. Zudem wurde von der zweiten auf die dritte Zeile durch \(x - x_0\) gekürzt. Falls \(g(x_0) \neq 0\), kann man im letzten Bruch \(x = x_0\) setzen und erhält \(\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x_0)}{f'(x_0)}.\)

Fortsetzung des Beispiels: \(x_0 = 0\), \(f(x) = e^x - 1\), \(g(x) = x\), \(f'(x) = e^x\), \(g'(x)=1\), \(f'(x_0) = e^0 = 1\), \(g'(x_0)=1\). Daher ist \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \frac{1}{1} = 1.\)

Allgemeinere Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital: Falls \(\frac{f(x)}{g(x)}\) vom Typ “\(\frac{0}{0}\)” oder “\(\frac{\infty}{\infty}\)” ist, dann gilt \[ \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{f'(x)}. \] Bemerkungen:

  • Diese allgemeinere Grenzwertregel gilt auch für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\).
  • Eventuell ist es bei einer Grenzwertberechnung notwendig, die Regel mehrmals hintereinander anzuwenden.
  • Andere Typen lassen sich oft auf “\(\frac{0}{0}\)” oder “\(\frac{\infty}{\infty}\)” umformen, siehe z. B. Kapitel VI, Abschnitt 3.3.3, Tabelle 3 in [1] auf Seite 627.

Ableitung einer Kurve

Eine (parametrisierte) Kurve (ein Weg) in der Ebene \(\mathbb{R}^2\) ist eine Funktion \[ \begin{aligned} s: I \subseteq \mathbb{R} & \to \mathbb{R}^2 \\ t & \mapsto s(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} \end{aligned} \] Dabei ist \(I\) ein Intervall, das auch ganz \(\mathbb{R}\) umfassen kann. Zum Beispiel könnte die Inputgröße (der Parameter) \(t\) die Zeit und der Outputvektor der Ort eines Objekts in der Ebene (Landkarte) zum Zeitpunkt \(t\) sein.

Beispiele:

  • gleichförmige geradlinige Bewegung (Gerade): \(s(t) = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - t\\ 2 + 2 t \end{pmatrix}\)
  • Kreisbewegung um den Ursprung mit Radius \(r\) und Winkelgeschwindigkeit \(\omega\): \(s(t) = r\begin{pmatrix} \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t) \end{pmatrix}\)

Eine Kurve im Raum \(\mathbb{R}^3\) ist ganz analog eine Funktion \(s(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}\).

Die erste Ableitung \(s'(t)\) einer Kurve \(s(t)\) entsteht durch Ableiten der einzelnen Komponenten nach der Inputgröße. Für eine Kurve in der Ebene bedeutet das \(s'(t) = \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix}.\) Falls die Inputgröße \(t\) die Zeit und der Outputvektor den Ort eines Objekts beschreiben, dann ist \(s'(t)\) die Geschwindigkeit und \(s''(t)\) die Beschleunigung des Objekts zum Zeitpunkt \(t\). In der Physik wird die Geschwindigkeit oft mit \(\dot{s}(t)\) und die Beschleunigung mit \(\ddot{s}(t)\) bezeichnet.

Partielle Ableitungen

Oft hängt eine Outputgröße \(z\) nicht nur von einer Inputgröße \(x\) ab sondern von mehreren, z. B. von zwei Inputgrößen \(x\) und \(y\) ab. Man schreibt dann \(z(x, y).\)

Beispiele:

  • Die kinetische Energie \(K\) eines Massenpunktes hängt von seiner Masse \(m\) und von seiner Geschwindigkeit \(v\) ab: \(K(m, v) = m\frac{v^2}{2}.\)
  • Das Volumen \(V\) einer Konservendose hängt vom Radius der Boden- bzw. Deckfläche und von der Höhe \(h\) der Dose ab: \(V(r, h) = \pi r^2 h.\)
  • Die Länge \(r\) eines Vektors hängt von seinen beiden kartesischen Koordinaten \(x\) und \(y\) ab: \(r(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}.\)

Oft betrachtet man die Abhängigkeit der Outputgröße \(z(x, y)\) vorübergehend nur von einer Inputgröße, z. B. \(x\), und die andere Inputgröße \(y\) als konstant, z. B. ein Fahrzeug mit konstanter Masse \(m\) und variabler Geschwindigkeit \(v\), oder unterschiedlich schwere Fahrzeuge bei gleicher, konstanter Geschwindigkeit. Wenn man dann die Outputgröße \(z\) z. B. nach der Variablen \(x\) ableitet, während man \(y\) als konstant betrachtet, erhält man die sogenannte partielle Ableitung \(\frac{\partial z}{\partial x}(x, y)\) von \(z\) nach \(x\). Sie gibt die Änderungsrate von \(z\) bei pro \(x\)-Einheit bei dem gewählten \(y\)-Wert an. Analog ist die partielle Ableitung \(\frac{\partial z}{\partial y}(x, y)\) definiert.

Fortsetzung der Beispiele:

  • \(\frac{\partial K}{\partial m}(m, v) = \frac{v^2}{2}\), \(\frac{\partial K}{\partial v}(m, v) = mv\)
  • \(\frac{\partial V}{\partial r}(r, h) = 2 \pi r h\), \(\frac{\partial V}{\partial h}(r, h) = \pi r^2\)
  • \(\frac{\partial r}{\partial x}(x, y) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x}{r}\), \(\frac{\partial r}{\partial y}(x, y) = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{y}{r}\)

Beispiele

Tangentengleichung

Wir bestimmen die Tangente an die Funktion \(y = \ln(x)\) bei \(x = 1\). Die Tangente ist eine Gerade und kann daher mit der Geradengleichung \(y_\text{Tang.} = kx + d\) angesetzt werden. Die Steigung \(k\) der Tangente ist die erste Ableitung \(y'(x) = \frac{1}{x}\) an der Stelle \(x = 1\): \(y'(1) = \frac{1}{1} = 1\). An der Stelle \(x=1\) hat die Funktion den Wert \(y(1)= \ln(1) = 0\). Die Tangente \(y_\text{Tang.} = x + d\) geht auch durch diesen Punkt, d. h.: \(0 = 1 + d\). Daher ist \(d=-1\), und die Tangentengleichung lautet \(y_\text{Tang.} = x - 1\).

Wir überprüfen unser Ergebnis mittels eines Plots, siehe Abbildung 6:

Code 
x = np.linspace(0.1, 3, num=500)
y = np.log(x)
y_tang = x - 1

plt.figure(figsize=(5, 3))
plt.plot(x, y, label='y')
plt.plot(x, y_tang, label='Tangente')
plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$y$')
plt.legend()
plt.grid(True)
Abbildung 6: Tangente an ln(x) bei x = 1.

Die Tangente an eine Funktion bei einer bestimmten Stelle wir auch als Linearisierung der Funktion an dieser Stelle bezeichnet.

Minimaler Abfall

Aus einem Baumstamm mit kreisförmigem Querschnitt soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt gefertigt werden, und zwar so, dass möglichst wenig Abfall entsteht. Siehe Abbildung 7.

Abbildung 7: Minimaler Abfall bei der Fertigung eines Balkens aus einem Baumstamm

Formulieren Sie die Aufgabe mathematisch, und bestimmen den Sie den optimalen Querschnitt.

Lösung: Wir maximieren Sie die Fläche des Rechtecks, die innerhalb des kreisförmigen Querschnitts liegt. \[ \begin{aligned} A_{Kreis} &= \pi r^2\\ A_{Rechteck}(a,b) &= ab\\ 2r &= \sqrt{a^2+b^2}\\ a &= \sqrt{4r^2-b^2}\\ A_{Rechteck}(b) &= \sqrt{4r^2-b^2}b=\sqrt{4r^2b^2-b^4}\\ \frac{\text{d} A_{Rechteck}}{\text{d} b}(b) &= \frac{8r^2b-4b^3}{2\sqrt{4r^2b^2-b^4}}=0\\ 8r^2b &= 4b^3\\ b &= \sqrt{2}r\\ \frac{\text{d}^2 A_{Rechteck}}{\text{d} b^2} &= 2b \frac{b^2 - 6r^2}{\sqrt{(4r^2 - b^2)^3}} \\ \frac{\text{d}^2 A_{Rechteck}}{\text{d} b^2}\Big|_{b=\sqrt{2r^2}} &= -4\\ a &= \sqrt{4r^2-2r^2}=\sqrt{2}r = b \end{aligned} \] Man hätte durch folgende Überlegungen die Rechnungen vereinfachen können:

  1. Die gesuchten relativen Extremwerte der Funktion \(A_{Rechteck}(b) = \sqrt{4r^2-b^2}b=\sqrt{4r^2b^2 - b^4}\) sind dieselben der einfacher zu abzuleitenden Funktion \(f(b) = 4r^2b - b^3\), denn \(A_{Rechteck}(b) = \sqrt{f(b)}\), und die Wurzelfunktion ist streng monoton steigend.
  2. Die Aufgabe lässt sich noch einfacher lösen, indem man folgendes Symmetrieargument verwendet: Das Problem ist rotationssymmetrisch bzgl. beliebigen Rotationen um die Baumstammachse, d. h. es muss \(a = b\) gelten. Daher ist \(2r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2a^2}\), und somit \(a = b = \sqrt{2}r\).

Maximale Querschnittsfläche

Der Querschnitt eines Tunnels besteht aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis, siehe Abbildung. Wie müssen die Abmessungen \((x, y)\) gewählt werden, damit bei vorgegebenem Umfang \(U\) des Tunnelquerschnitts die Querschnittsfläche des Tunnels möglichst groß wird?

Maximale Querschnittsfläche eines Tunnels

Lösung: \[ \begin{aligned} A(x,y) &= 2xy + \frac{1}{2}\pi x^2 \\ U &= 2x + 2y + \pi x \implies y = \frac{U - 2x - \pi x}{2} \\ A(x) &= xU - 2x^2 - \frac{\pi x^2}{2} \\ \frac{\text{d} A}{\text{d} x}(x) &= U - 4x - \pi x = 0 \implies x = \frac{U}{4 + \pi} \\ \text{Einsetzen in } U &= 2x + 2y + \pi x \implies y = \frac{U}{4 + \pi} = x \end{aligned} \]

Taylorreihe des Gravitationalspotentials

  1. Berechnen Sie die Taylorreihe des Gravitationspotentials \(\phi(r) = -G\frac{mM_E}{r}\) eines Körpers der Masse \(m\) an der Erdoberfläche bis zur ersten Ordnung.
  2. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der bekannten Formel \(mgh\), wobei \(g = 9{,}81\frac{m}{s^2}\) die Erdbeschleunigung und \(h\) die Höhe über der Erdoberfläche sind.
  3. Erstellen Sie einen Plot des wahren und approximierten Graviationspotentials in der Nähe der Erdoberfläche am Computer.

Daten: Gravitationskonstante \(G = 6{,}6742\cdot10^{-11}\;\mathrm{\frac{m^3}{kg\,s^2}}\), Masse der Erde \(M_E = 5{,}974\cdot10^{24}\;\mathrm{kg}\), Durchmesser der Erde \(d= 12714\) km

Lösung:

  1. Taylorreihe bis 1. Ordnung: \(\phi(r_E + h) \simeq \phi(r_E) + \phi'(r_E)h = -G\frac{mM_E}{r_E} + G\frac{mM_E}{r_E^2}h\)
  2. Der erste Term ist eine Konstante und daher für die potentielle Energie irrelevant. Wir vergleichen den zweite Term \(G\frac{mM_E}{r_E^2}h\) mit \(mgh\). Der Term \(G\frac{M_E}{r_E^2}\) hat einen Wert von \(9.87\frac{m}{s^2}\) und ist somit vergleichbar mit \(g=9.81\frac{m}{s^2}\).
  3. Siehe Code.
Code 
G  = 6.6742e-11   # m^3/(kg*s)
ME = 5.974e24     # kg
rE = 12714.0e3/2  # m
g = G*ME/rE**2    # m/s^2

print(f"{rE = :.3f} m")
print(f"{g  = :.3f} m/s^2")

m = 1
r = np.linspace(rE*0.75, rE*1.25)

plt.figure(figsize=(5, 3))
plt.plot(r/1e6, -G*m*ME/r, label='exakt')
plt.plot(rE/1e6, -G*m*ME/rE, 'go')
plt.plot(r/1e6, -G*m*ME/rE + g*m*(r - rE), 'r', label='Taylorreihe 1. Ordg.')
plt.legend(loc='best')
plt.xlabel('Radius (Mio. m)')
plt.ylabel('Potential (kg m$^2$/s$^2$ = J)')
plt.grid(True)
rE = 6357000.000 m
g  = 9.866 m/s^2

Limesberechnung

Wir berechnen \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x}\) mit den Grenzwertregeln von Bernoulli und de L’Hospital: \[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \frac{1}{1} = 1. \]

Ableitungen der Kreisbewegung

Wir betrachten die Kreisbewegung um den Ursprung mit Radius \(r\) und Winkelgeschwindigkeit \(\omega\): \[ s(t) = r\begin{pmatrix} \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t) \end{pmatrix}. \] Wir berechnen die Geschwindigkeit \(s'(t)\) und die Beschleunigung \(s''(t)\): \[ \begin{aligned} s'(t) &= r \omega \begin{pmatrix} -\sin(\omega t) \\ \phantom+ \cos(\omega t) \end{pmatrix} \\ s''(t) &= - r \omega^2 \begin{pmatrix} \cos(\omega t) \\ \sin(\omega t) \end{pmatrix} = - \omega^2 s(t) \end{aligned} \] Abbildung 8 zeigt alle drei Kurven: den Ort \(s(t)\), die Geschwindigkeit \(s'(t)\) und die Beschleunigung \(s''(t)\).

Code 
r = 2   # Radius
T = 10  # Umlaufdauer in Sekunden 
omega = 2*np.pi/T

plt.figure(figsize=(4, 4))
t = np.linspace(0, T, 100)
x = r*np.cos(omega*t)
y = r*np.sin(omega*t)
plt.plot(x, y, color='black')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')

for t in np.linspace(0, T, 6):
  x = r*np.cos(omega*t)
  y = r*np.sin(omega*t)
  vx = -r*omega*np.sin(omega*t)
  vy =  r*omega*np.cos(omega*t)
  ax = -omega**2*x
  ay = -omega**2*y
  plt.arrow(0, 0,  x,  y, head_width=0.1, color='black',
            length_includes_head=True)
  plt.arrow(x, y, vx, vy, head_width=0.1, color='blue',
            length_includes_head=True)
  plt.arrow(x, y, ax, ay, head_width=0.1, color='red',
            length_includes_head=True)

plt.grid(True)
Abbildung 8: Kreisbewegung: Ort \(s(t)\) in schwarz, die Geschwindigkeit \(s'(t)\) in blau und die Beschleunigung \(s''(t)\) in rot

Aufgaben

Ableiten

Berechnen Sie die erste Ableitung von folgenden Funktionen.

  1. \(f(x) = 4\sqrt[3]{x^5} - 4e^x + \sin(x)\)
  2. \(f(x) = 2x^2\ln(x)\)
  3. \(f(x) = \dfrac{10x}{x^2 + 1}\)
  4. \(f(x) = 3e^{-4x}\)
  5. \(f(x) = \sin^2(2x - 4)\)
  6. \(f(t) = \sin(\omega t)\) (erste und zweite Ableitung)

Differenzieren

Berechnen Sie die erste Ableitung von folgenden Funktionen:

  1. \(y = x^2 e^x\)
  2. \(y = \cos(x)e^{-x}\)
  3. \(y = \ln(\ln(x))\)
  4. \(y = \frac{\sqrt{x} \sin(x)}{\ln(x)}\)
  5. \(y = (4x^3 - x^2 + 1)^5\)
  6. \(y = \sin(x + 2)\)
  7. \(y = e^{x^2 - 2x + 5}\)

Differenzieren

  1. Berechnen Sie \(y''(x)\) von \(y(x) = \frac{x^2}{1 + x^2}\).
  2. Berechnen Sie \(y'(x)\) von \(y(x) =4^{x\sin(x)}\).
  3. Berechnen Sie \(y'''(x)\) und \(y'''(1)\) von \(y(x) = x\ln(x)\).

Differenzieren, Tangente

  1. Differenzieren Sie die Funktion \(f(x) = \cos(2-x) + 3e^{-x} - \frac{1-x}{x^2}\).
  2. Bestimmen Sie die Tangente an die Funktion \(y = \ln(x)\) bei \(x = 1\), und plotten Sie Funktion und Tangente am Computer.

Differenzieren, Tangente

  1. Bestimmen Sie den auf der Funktion \(y(t) = 2e^{3t}\) gelegen Punkt, dessen Tangente mit der positiven \(t\)-Achse einen Winkel von \(30^\circ\) einschließt.
  2. In welchen Punkten der Funktion \(y(x) = \frac{1}{3}x^3 - x\) verlaufen die Tangenten parallel zur Geraden \(y = \frac{1}{4}x - 2\)?

Tangentengleichung

Gegeben ist die Funktion \(y = \sqrt{25 - x^2}\).

  1. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle \(x_0 = 4\).
  2. Erstellen Sie am Computer einen Plot des Graphen der Funktion und der Tangente.

Differenzieren, Extrema

  1. Differenzieren Sie die Funktion \(f(x) = e^{5-x} + 3\cos^2(x)\).
  2. Berechnen Sie alle Extrema (Maxima und Minima) der Funktion \(f(x) = -8x^3 + 12x^2 +18x\).

Kurvendiskussion

Plotten Sie den Graphen der Funktion \(y = \dfrac{x^2+1}{x-3}\) am Computer, und bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge, Nullstellen, Pole, Maxima und Minima.

Umgekehrte Kurvendiskussion

Ein Polynom dritter Ordnung \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) geht durch den Koordinatenursprung und hat im Punkt \(P = (1, -2)\) einen Wendepunkt. Die Wendetangente schneidet die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 2\). Bestimmen Sie \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\). Überprüfen Sie Ergebnis am Computer.

Extremwerte

Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion \(f(x) = (x-1)e^{-2x}\). Handelt es sich um Maximum, Minimum oder Sattelpunkt? Erstellen Sie einen Plot der Funktion am Computer.

Maximale Bremskraft

Die Bremskraft einer Scheibenbremse ist gegeben durch \(K(v) = \dfrac{a^2v}{v^2 + b^2}\), wobei \(v > 0\) die Geschwindigkeit der Scheibe angibt und \(a > 0\) und \(b > 0\) Konstanten sind.

  1. Skizzieren Sie den Graphen von \(K\) ohne eine Wertetabelle zu verwenden. Plotten Sie anschließend den Graphen am Computer.
  2. Bei welcher Geschwindigkeit ist die Bremskraft maximal?
  3. Berechnen Sie die maximale Bremskraft.

Leistungsaufnahme

Die Leistungsaufnahme eines Verbrauchers vom Widerstand \(R\), der durch eine Zweipolquelle (Innenwiderstand \(R_i\), Quellspannung \(U_0\)) gespeist wird, beträgt \[ P(R) = U_0^2 \frac{R}{(R + R_i)^2}. \] Zeigen Sie, dass der Verbraucherwiderstand \(R\) die größtmögliche Leistung aufnimmt, wenn \(R = R_i\) gewählt wird (sog. Leistungsanpassung), und bestimmen Sie diese größtmögliche Leistung. Zeigen Sie auch, dass bei \(R = R_i\) ein lokales Maximum herrscht.

Quelle: [1] Kapitel IV, Abschnitt 3, Aufgabe 18

Strahlengang

Der Strahlengang eines Laserstrahls geht von der Quelle \(Q = (0; 3)\) über den Spiegelpunkt \(S = (x; 0)\) auf der \(x\)-Achse bis zum Empfänger \(E = (10; 4{,}5)\).

  1. Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate des Punktes \(S\) für den kürzesten Weg von \(Q\) über \(S\) nach \(E\).
  2. Überprüfen Sie, dass im Falle des kürzesten Weges das Reflexionsgesetz gilt.

Querschnittsfläche

Aus drei Brettern, die die Breite \(g\) und die Länge \(l\) haben, wird eine Rinne mit maximalen Querschnittsfläche hergestellt. Siehe Abbildung Abbildung 9. Wie muss der Winkel \(\alpha\) dafür gewählt werden? Wie groß ist der maximale Querschnitt?

Abbildung 9: Rinne

Extremwertaufgabe

Minimieren Sie die Funktion \(f(x, y) = 1 + x^2 + y^2 - 2y\) unter der Nebenbedingung \(3x + 2y = 6\).

Extremwertaufgabe - Zaun

Herr Huber hat einen großen Garten, der ein einen Fluss grenzt. Eines Tages findet er am Dachboden einen 48 Meter langen Zaun, welchen er verwenden will, um seinen Gänsen ein rechteckiges Flächenstück abzugrenzen. Welche Maße muss er für das Flächenstückläche wählen, damit es an den Fluss grenzt und einen maximalen Flächeninhalt aufweist?

Extremwertaufgabe - Oberfläche

Unter sämtlichen Kreiszylindern vom Volumen 1000 cm\(^3\) soll derjenige mit der kleinsten Oberfläche gefunden werden. Wie groß sind Radius, Höhe und Oberfläche dieses Zylinders?

Taylor-Reihen

Berechnen Sie die Taylor-Reihen bis zur zweiten Ordnung von

  1. \(f(x) = \cos(x)\) bei \(x_0 = \frac{\pi}{3}\)
  2. \(f(x) = \sqrt{x}\) bei \(x_0 = 1\)

Taylor-Reihen

  1. Berechnen Sie die Taylor-Reihe von \(f(x) = \sin(x)\) bei \(x_0 = 0\) bis zur dritten Ordnung.
  2. Berechnen Sie die Taylor-Reihe von \(f(x) = \ln(x)\) bei \(x_0 = 1\) bis zur vierten Ordnung.
  3. Die Funktion \(f(x) = x\,e^{-x}\) soll in der Umgebung des Nullpunktes durch eine Polynomfunktion dritten Grades angenähert werden.

Taylor-Reihe des Kehrwerts

Berechnen Sie von \(f(x) = \frac{1}{x}\) bei \(x_0 = 1\) die Taylor-Reihe bis zur zweiten Ordnung, und stellen Sie Ihr Ergebnis am Computer grafisch dar.

Taylor-Reihe einer Wurzelfunktion

Berechnen Sie von \(f(x) = \sqrt{1 + x}\) bei \(x_0 = 3\) die Taylor-Reihe bis zur zweiten Ordnung, und stellen Sie Ihr Ergebnis am Computer grafisch dar.

Limesberechnung

Berechnen Sie den Grenzwert \(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(x)}{x^2}\).

Quelle: [1] Kapitel VI, Abschnitt 3, Aufgabe 18f

Limesberechnungen

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

  1. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos(x)}\)
  2. \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{2\cos(x) + e^x + e^{-x} - 4}{x^4}\)
  3. \(\lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^x - x}{1 - x + \ln(x)}\)

Wurfparabel

Die Wurfparabel eines Steins bei vernachlässigter Luftreibung wird zum Beispiel durch folgende Kurve beschrieben: \[ s(t) = \begin{pmatrix} v_x t \\ v_y t - \frac{g}{2} t^2 \end{pmatrix} \] mit \(g\) der Erdbeschleunigung.

  1. Beschreiben Sie die Flugbahn.
  2. Berechnen die Geschwindigkeit \(s'(t)\) und die Beschleunigung \(s''(t)\).
  3. Plotten Sie alle drei Kurven für sinnvolle Werte der Parameter \(v_x\) und \(v_y\): den Ort \(s(t)\), die Geschwindigkeit \(s'(t)\) und die Beschleunigung \(s''(t)\).

Mehr Aufgaben

  • [1]

    • Kapitel IV

      • Abschnitt 1, Aufgaben 1 - 2
      • Abschnitt 2, Aufgaben 1 - 9, 13 - 25
      • Abschnitt 3, Aufgaben 1 - 26 ohne Normalengleichung und Krümmungskreis

    • Kapitel VI

      • Abschnitt 3: Aufgaben 1 - 21

  • [2]

    • Kapitel B Differentialrechnung

      • Abschnitt 1 Ableitungsregeln: B1 - B32, B37 - B47
      • Abschnitt 2 Anwendungen der Differentialrechnung: B48 - B66 ohne Normalengleichung, B71 - B95, B100 - B107

    • Kapitel D Taylor- und Fourier-Reihen

      • 1 Potenzreihenentwicklungen: D6 - D35

  • [3]

    • Kapitel III Differentialrechnung, Beispiele 1 - 22
    • Kapitel V Taylor- und Fourier-Reihen: Beispiele 1 - 12

Literatur

[1]
L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1: Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium, 15., überarb. Aufl. Wiesbaden Heidelberg: Springer Vieweg, 2018.
[2]
L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler - Klausur- und Übungsaufgaben: 711 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung, 6., erw. u. überarb. Aufl. 2020 Edition. Wiesbaden: Springer Vieweg, 2020.
[3]
L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler - Anwendungsbeispiele: 222 Aufgabenstellungen mit ausführlichen Lösungen, 8., überarb. Aufl. Wiesbaden Heidelberg: Springer Vieweg, 2019.