Wiederholung der Vektorrechnung

Hinweis

Für eine detaillierte Darstellung verweisen wir auf das Kapitel Vektorrechnung der Lehrveranstaltung Ingenieurmathematik und die dort empfohlene Literatur.

Methoden

Vektoren

Ein \(n\)-Vektor ist eine geordnete Liste von \(n\) Zahlen, die Komponenten (auch Elemente oder Koordinaten) genannt werden. Ein Vektor \(a\) wird typischer Weise als Spaltenvektor \[ a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \] oder als Zeilenvektor \[ a = (a_1, a_2, \ldots , a_n) \] geschrieben. Es sind auch andere Notationen für Vektoren üblich. Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in allen Komponenten übereinstimmen. Ein Nullvektor ist ein Vektor, dessen Komponenten alle Null sind. Man schreibt verkürzt nur eine Null: \((0, 0, \ldots , 0) = 0\).

Vektorräume

Der \(\mathbb{R}^n\) ist die Menge aller \(n\)-Vektor mit reellen Komponenten. Er hat die Dimension \(n\), da jeder Vektor aus \(\mathbb{R}^n\) eindeutig durch \(n\) Zahlen, z. B. seine \(n\) Komponenten, beschreibbar ist. Die folgenden zwei Rechenoperationen machen aus der Menge \(\mathbb{R}^n\) einen sogenannten Vektorraum:

  • Skalarmultiplikation: Die elementweise Multiplikation eines Skalars (einer Zahl) \(\alpha \in \mathbb{R}\) mit allen Vektorkomponenten liefert wieder einen Vektor: \[ \alpha \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha a_1 \\ \alpha a_2 \\ \vdots \\ \alpha a_n \end{pmatrix} \]
  • Addition: Die elementweise Addition zweier Vektoren liefert wieder einen Vektor: \[ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ \vdots \\ a_n + b_n \end{pmatrix} \]

Die Subtraktion \(a - b\) zweier Vektoren ist erklärt als \(a + (-1)b\) und entspricht der elementweise Subtraktion der Komponenten. Es gelten die üblichen, intuitiven Rechenregeln: \(\alpha (a + b) = \alpha a + \alpha b\), \((\alpha + \beta)a = \alpha a + \beta a\), \((\alpha \beta)a = \alpha (\beta a) = \beta (\alpha a)\) für \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) und \(a, b \in \mathbb{R}^n\).

Lineare (Un-)Abhängigkeit

Zwei nicht-Null-Vektoren \(a, b \in \mathbb{R}^n\) heißen parallel, wenn \(b = \alpha a\) und \(\alpha > 0\), und antiparallel, wenn \(\alpha < 0.\) In beiden Fällen heißen die Vektoren kollinear.

Ein Ausdruck der Form \(\alpha a + \beta b\) mit \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) und \(a, b \in \mathbb{R}^n\) oder allgemeiner \(\alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 + \ldots + \alpha_k a_k\) mit \(\alpha_i \in \mathbb{R}\) und \(a_i \in \mathbb{R}^n\) heißt Linearkombination der zwei bzw. \(k\) Vektoren.

Eine Menge von \(k\) Vektoren \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) heißt linear unabhängig, wenn die Gleichung \(\alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 + \ldots + \alpha_k a_k = 0\) nur die triviale Lösung \(\alpha_i = 0\; \forall i=1, \ldots, k\) hat. Andernfalls heißen die \(k\) Vektoren linear abhängig, und mindestens einer der vorkommenden Vektoren lässt sich als Linearkombination der restlichen ausdrücken. Zwei kollineare Vektoren sind linear abhängig, und zwei nicht kollineare Vektoren sind linear unabhängig.

Inneres Produkt

Eine weitere Rechenoperation stellt das innere Produkt (auch Skalarprodukt genannt, engl. oft inner product oder dot product) dar, das für zwei Vektoren \(a, b \in \mathbb{R}^n\) durch Multiplizieren der entsprechenden Komponenten und anschließendes Aufsummieren eine Zahl, also ein Skalar, liefert. Wir schreiben das innere Produkt von \(a\) mit \(b\) als \[ a \cdot b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots a_n b_n. \] Auch hier sind andere Notationen verbreitet. Die Länge (Norm, Betrag) \(\lVert a \rVert\) eines Vektors \(a\) wird über den verallgemeinerten Satz von Pythagoras als \[ \lVert a \rVert := \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2} \] definiert und kann mit Hilfe des inneren Produktes als \(\lVert a \rVert = \sqrt{a \cdot a}\) geschrieben werden.

Der ungerichtete Winkel \(\varphi \in [0, \pi]\) zwischen zwei nicht-Null-Vektoren \(a\) und \(b\) kann implizit über die Gleichung \[ a \cdot b = \lVert a \rVert \, \lVert b \rVert \cos(\varphi) \tag{1}\] definiert und explizit mit \(\varphi = \arccos\left( \frac{a \cdot b}{\lVert a \rVert \, \lVert b \rVert}\right)\) berechnet werden.

Aufgaben

Vektoroperationen, Inneres Produkt und Norm

Berechnen Sie von Hand und in Python für die Vektoren \(a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(c = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -1 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\) folgende Ausdrücke:

  • \(a + 2b - c\)
  • \(a \cdot b + a \cdot c\)
  • \(a \cdot a\)
  • \(\lVert a \rVert\)

Ergebnisse:

  • \(a + 2b - c = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -1 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\)
  • \(a \cdot b + a \cdot c = 58\)
  • \(a \cdot a = 43\)
  • \(\lVert a \rVert \simeq 6.56\)

Winkel zwischen Vektoren

Berechnen Sie von Hand und in Python den Winkel, den die Vektoren \(a = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(b = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) einschließen. Geben Sie das Ergebnis in Grad und im Bogenmaß an. Verifizieren Sie das Ergebnis mit Hilfe einer Skizze.

Ergebnisse: \(\varphi \simeq 2.03\) rad \(\simeq 116.57°\)