Matrizenrechnung

Methoden

Motivation

Matrizen sind ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra und tauchen in fast allen Gebieten der Mathematik auf. Zudem lassen sich Rechnungen mit Matrizen sehr effizient auf Computern durchführen.

Typische Anwendungen: lineare Gleichungssysteme, lineare Abbildungen, Eigenwertprobleme, Optimierung, Datenanalyse, Bildverarbeitung, Künstliche Intelligenz, …

Definitionen

Eine Matrix ist ein rechteckige Anordnung (Tabelle) von Zahlen. Eine \(m\times n\)-Matrix \(A\) hat \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten. Man sagt: Die Matrix hat die Dimension \(m\times n\). Oder: Sie ist vom Typ \(m\times n\). Die Einträge der Matrix \(A\) sind die Zahlen \(A_{ij}\), die in der \(i\)-ten Zeile und \(j\)-ten Spalte stehen. Die Menge aller \(m\times n\)-Matrizen wird mit \(\mathbb{R}^{m\times n}\) bezeichnet. \[ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{m1} & A_{m2} & \cdots & A_{mn} \end{pmatrix} \]

Wenn \(m = n\), dann heißt die Matrix \(A\) quadratisch.
Wenn \(m = 1\), dann heißt die Matrix \(A\) Zeilenvektor.
Wenn \(n = 1\), dann heißt die Matrix \(A\) Spaltenvektor.
Wenn \(m = n = 1\), dann heißt die Matrix \(A\) Zahl oder Skalar.

Gleichheit von Matrizen: Zwei Matrizen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Dimensionen haben und alle ihre Einträge gleich sind. Vergleiche die Gleichheit von Vektoren.

Visualisierung:

Zahl: Punkt
Vektor: Strich, vertikal für Spaltenvektor, horizontal für Zeilenvektor
Matrix: Rechteck

Spalten- und Zeilenansicht von Matrizen: Eine Matrix kann auf folgende Arten gesehen werden:

als Stapel von Zeilenvektor
als Stapel von Spaltenvektor
als 2-dimensionale Anordnung von Zahlen

Rechenoperationen

Addition, Skalarmultiplikation, Transposition

Die Addition von Matrizen ist nur für Matrizen mit gleichen Dimensionen definiert und erfolgt dann elementweise, wie bei Vektoren.
Die Skalarmultiplikation einer Matrix mit einer Zahl (=Skalar) erfolgt, auch wie bei Vektoren, elementweise.
Das Transponieren einer Matrix vertauscht die Spalten und Zeilen der Matrix und macht eine \(n\times m\)-Matrix \(A\) zur \(m\times n\)-Matrix \(A^T\). Die Einträge der transponierten Matrix sind \(A^T_{ij} = A_{ji}\). Die transponierte Matrix entsteht durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an ihrer Diagonalen (=Elemente mit gleichem Zeilen- und Spaltenindex).

Matrixmultiplikation

Die Matrixmultiplikation einer \(n\times m\)-Matrix mit einer \(m\times p\)-Matrix liefert eine \(n\times p\)-Matrix. Die innere Dimension muß übereinstimmen, hier ist sie \(m\). Das Ergebnis hat die äußeren Dimensionen, hier \(n\) und \(p\). Die Ergebnismatrix \(C = AB\) der Matrixmultiplikation von \(A\) mit \(B\) hat die Einträge \(C_{ij} = \sum_{k=1}^m A_{ik}B_{kj}\). Das heißt, der Eintrag in der \(i\)-ten Zeile und \(j\)-ten Spalte von \(C\) ist das Skalarprodukt des \(i\)-ten Zeilenvektors von \(A\) mit dem \(j\)-ten Spaltenvektor von \(B\). Hier ein Beispiel für eine \(2\times 3\)-Matrix \(A\) und eine \(3\times 2\)-Matrix \(B\): \[ \begin{aligned} &\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ B_{31} & B_{32} \end{pmatrix} = \\ &\begin{pmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} + A_{13}B_{31} & A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} + A_{13}B_{32} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} + A_{23}B_{31} & A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} + A_{23}B_{32} \end{pmatrix} \end{aligned} \]

Ansichten der Matrixmultiplikation:

Tabellenansicht: Die Einträge der Ergebnismatrix \(AB\) sind die inneren Produkte der Zeilenvektoren von \(A\) mit den Spaltenvektoren von \(B\).
Spaltenansicht: Die \(k\)-te Spalte von \(AB\) ist die Linearkombinationen der Spalten von \(A\) mit Koeffizienten aus der \(k\)-ten Spalte von \(B\).
etc.

Produkttypen:

Zeilenvektor \(\times\) Spaltenvektor = Zahl: Das ist gerade das innere Produkt von Vektoren \(a, b \in \mathbb{R}^n\), die in der Matrizenrechnung als Spaltenvektoren geschrieben werden: \[ a^T b = \begin{pmatrix} a_1 & \ldots a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n. \]
Matrix \(\times\) Spaltenvektor = Spaltenvektor
Zeilenvektor \(\times\) Matrix = Zeilenvektor
Matrix \(\times\) Matrix = Matrix

Spezielle Matrizen

Nullmatrizen enthalten lauter Nullen. Man schreibt kurz \(0\), so wie man es auch für Nullvektoren macht. Die Mullmatrix entsprechender Dimension ist das neutrale Element der Addition: \(A + 0 = A\).
Einheitsmatrizen sind \(n\times n\)-Matrizen, also quadratisch, die Einser auf der Diagonalen und ansonsten Nullen haben. Notation \(I\) (engl. identity matrix) oder \(\mathbb{1}\). Die Einheitsmatrix entsprechender Dimension ist das neutrale Element der Multiplikation: \(AI = IA = A\).
Eine Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Einträge außerhalb der Diagonalen alle Null sind. Die Diagonalelemente können beliebige Zahlen sein.
Einsermatrizen enthalten nur Einser als Elemente.
Wenn \(A^T = A\) gilt, dann heißt die Matrix \(A\) symmetrisch.
Wenn \(A^T = -A\) gilt, dann heißt die Matrix \(A\) schiefsymmetrisch.
Eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Einträge unterhalb bzw. oberhalb der Diagonalen alle Null sind.
Es gibt noch viele weitere spezielle Matrizen, siehe z. B. Wikipedia. Orthonormale Matrizen behandeln wir etwas später im Abschnitt Orthogonale Matrizen.

Quadratische Matrizen

Determinante

Wir betrachten zuerst das allgemeine, quadratische \(2\times 2\)-LGS \[ \begin{aligned} A_{11} x_1 + A_{12} x_2 & = b_1 \\ A_{21} x_1 + A_{22} x_2 & = b_2 \end{aligned} \] das die folgende Matrix-Vektor-Form \(Ax = b\) hat: \[ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}. \] Die Koeffizientenmatrix \(A\) ist eine quadratische \(2\times 2\)-Matrix. Mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren erhält man die Lösungsformel: \[ \begin{aligned} x_1 & = \frac{b_1 A_{22} - b_2 A_{12}}{A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21}} \\ x_2 & = \frac{b_2 A_{11} - b_1 A_{21}}{A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21}} \end{aligned} \] Schlussfolgerungen:

Falls der Nenner \(A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21} \neq 0\), dann hat das LGS genau eine Lösung.
Falls der Nenner \(A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21} = 0\), dann hat das LGS keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

Die Zahl \(A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21}\), die die Fallunterteilung bestimmt (determiniert), heißt Determinante der Koeffizientenmatrix \(A\) und wird mit \(\det(A)\) oder \(\lvert A \rvert\) notiert. Die Determinante kann nur für quadratische Matrizen (gleich viele Zeilen wie Spalten) berechnet werden kann.

Beispiel: \(A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4\end{pmatrix}\) hat die Determinante \(\det(A) = 3\cdot 4 - (-1)\cdot 2 = 14\). Vergleiche das Kreuzprodukt \(a \times b\) der zwei räumlichen Vektoren \(a = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(b = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), dessen Länge die Fläche des von \(a\) und \(b\) aufgespannten Parallelogramms ist: \(a \times b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 14 \end{pmatrix}\), \(\lVert a \times b \rVert = \sqrt{14^2} = 14\).

Geometrie: Der Betrag der Determinante ist gleich dem Flächeninhalt (allg. dem Volumen) des von den Spaltenvektoren der Matrix aufgespannten Parallelepipeds.

Formeln:

\(2\times 2\)-Matrizen: \(\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} = ad - cb\).
\(3\times 3\)-Matrizen: \[ \begin{aligned} \det\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix} = \\ A_{11} A_{22} A_{33} + A_{12} A_{23} A_{31} + A_{13} A_{21} A_{32} \\ - A_{13} A_{22} A_{31} - A_{12} A_{21} A_{33} - A_{11} A_{23} A_{32} \end{aligned} \]
Für höhere Dimensionen gibt es Formeln, die wir hier aber nicht angeben.

Inverse Matrix

Zu einer quadratischen Matrix \(A\) kann (muss aber nicht) eine inverse Matrix, geschrieben als \(A^{-1}\), existieren. Sie entspricht dem Kehrwert für Matrizen und hat die definierenden Eigenschaften: \(A^{-1}A = I = AA^{-1}\). Falls eine inverse Matrix existiert, dann ist sie eindeutig. Für eine \(2\times 2\)-Matrix \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}\) ist die inverse Matrix, falls \(\det(A)\neq 0\), durch \(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}\) gegeben. Eine quadratische Matrix, die eine Inverse besitzt, heißt reguläre, invertierbare oder nicht singuläre Matrix, andernfalls heißt sie singuläre Matrix.

Falls für ein quadratisches LGS \(Ax = b\) die inverse Matrix \(A^{-1}\) existiert, liefert die Multiplikation von \(Ax = b\) von links mit \(A^{-1}\) die eindeutige Lösung \(x = A^{-1}b\). Die inverse Matrix von \(A\) existiert genau dann, wenn die Determinante von \(A\) nicht Null ist. Falls \(A^{-1}\) nicht existiert, also \(\det(A) = 0\), dann gibt es ein \(\tilde{b}\), sodass \(Ax = \tilde{b}\) keine Lösung hat, und falls eine Lösung zu \(Ax = b\) existiert, dann ist sie nicht eindeutig.

Lösungsstruktur quadratischer LGS

Wir betrachten ein quadratisches \(n\times n\)-LGS \(Ax = b\) mit \(n\) Gleichungen und \(n\) Variablen. Dann gilt:

Falls \(\det(A) \neq 0\), dann hat das LGS genau eine Lösung.
Falls \(\det(A) = 0\), dann hat das LGS keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Die Unterscheidung kann mit den Rängen von \(A\) und \((A|b)\) getroffen werden.

Für ein homogenes quadratisches LGS \(Ax = 0\) gilt zudem:

Falls \(\det(A) \neq 0\), dann hat das LGS nur die triviale Lösung \(x = 0\).
Falls \(\det(A) = 0\), dann hat das LGS unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge ist \(n - \text{rank}(A)\)-dimensional.

Rechenregeln

Notation: Zahl \(\alpha\), Matrizen \(A\), \(B\) und \(C\)

\(\alpha(A + B) = \alpha A + \alpha B\)
\(\alpha(AB) = (\alpha A)B = A(\alpha B) = \alpha AB\)
\(C(A + B) = CA + CB\)
\((A + B)C = AC + BC\)
Achtung: Im Allgemeinen ist \(AB\) nicht gleich \(BA\)!
\(A(BC) = (AB)C = ABC\)
\((A \pm B)^T = A^T \pm B^T\)
\((\alpha A)^T = \alpha A^T\)
\((AB)^T = B^T A^T\) Achtung: Reihenfolge vertauscht!
\((AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}\) Achtung: Reihenfolge vertauscht!
\((A^{-1})^{-1}\) = \(A\)
\((A^{-1})^T = (A^T)^{-1} = A^{-T}\)
\(\det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A^{-1}\) existiert, d. h. \(A\) ist regulär und invertierbar.
\(\det(A) = 0 \Leftrightarrow A^{-1}\) existiert nicht, d. h. \(A\) ist singulär und nicht invertierbar.
\(\det(A^T) = \det(A)\)
\(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)
\(\det(I) = 1\)
\(\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}\)
Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Diagonalelemente.
Eine quadratische \(n \times n\) Matrix \(A\) ist regulär. \(\Leftrightarrow\) Der Rang von \(A\) ist voll, d. h. gleich \(n\). \(\Leftrightarrow\) Die Spaltenvektoren von \(A\) sind linear unabhängig und spannen den ganzen \(\mathbb{R}^n\) auf.

Lineare Abbildungen

Definition

Eine lineare Abbildung (=Funktion) \(f\) zwischen den Vektorräumen \(\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) ordnet jedem Inputvektor \(x\) des Inputraums \(\mathbb{R}^n\) genau einen Outputvektor \(f(x)\) des Outputraums \(\mathbb{R}^m\) derart zu, sodass die Linearitätseigenschaft \[ f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \] für alle Zahlen \(\alpha\) und \(\beta\) und alle Inputvektoren \(x\) und \(y\) erfüllt ist.

Eigenschaften

Jede lineare Funktion lässt sich in Matrixform \(f(x) = Ax\) für eine eindeutige \(m\times n\)-Matrix \(A\) schreiben.
Jede Funktion \(f(x)\), die sich in Matrixform \(f(x) = Ax\) schreiben lässt, ist linear.

Aufgrund dieser Eigenschaften kann eine lineare Abbildungen mit ihrer Matrix, genannt Abbildungsmatrix, gleichgesetzt werden.

Beispiele

Eine skalare, lineare Funktion von \(\mathbb{R}^n\) nach \(\mathbb{R}\) ist gegeben durch das innere Produkt eines fixen Vektors \(a\) mit einem Variablenvektor \(x\): \[ f(x) = a^T x. \] Die Konturlinien \(a^T x = c\) mit \(c \in \mathbb{R}\) sind in der Ebene (\(n=2\)) parallele Geraden. Die Null-Konturlinie \(a^T x = 0\) geht durch den Ursprung. Die Konturflächen \(a^T x =c\) sind im Raum (\(n=3\)) parallele Ebenen, und die Null-Konturfläche \(a^T x = 0\) geht durch den Ursprung. Der Koeffizientenvektor \(a\) ist orthogonal (=rechtwinklig, normal) zu den Konturlinien bzw. Konturflächen.
Der Drehung in der Ebene um den Winkel \(\alpha\) gegen den Uhrzeigersinn entspricht die Drehmatrix \(R = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}\). \(R\) ist eine orthogonale Matrix.
Der Spiegelung in der Ebene an der 1-Achse entspricht die Matrix \(S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\). \(S\) ist eine orthogonale Matrix.
Die Skalierung (Streckung bzw. Stauchung) in der Ebene um den Faktor \(a\) in \(x_1\)-Richtung und den Faktor \(b\) in \(x_2\)-Richtung entspricht die Matrix \(D = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b\end{pmatrix}\).
Die Projektion in der Ebene auf die 1-Achse entspricht die Matrix \(P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\). Für jede Projektion gilt: \(P\) ist symmetrisch und \(P^2 = P\).
Die Projektion in der Ebene auf die 2-Achse entspricht die Matrix \(P = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\).
Die Projektion in der Ebene auf die Gerade durch den Ursprung mit Richtungsvektor \(v\) entspricht die Matrix \(P = \frac{1}{v^Tv}vv^T\).

Darstellungen von Vektoren

Eine Basis des Vektorraumes \(\mathbb{R}^n\) ist eine Liste von \(n\) Vektoren \(b_i, i=1,\ldots n\) des \(\mathbb{R}^n\), mit der sich jeder Vektor \(x\) des Vektorraumes eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren \(b_i\) darstellen lässt: \[ x = \sum_{i=1}^n c_i b_i. \] Die Koeffizienten \(c_i\) heißen Koordinaten von \(x\) bezüglich der Basis \(b_i\). Schreibt man die Basisvektoren als Spalten in einen Matrix \(B\) und die Koordinaten als Spalten in einen Vektor \(c\), dann gilt \[ x = Bc. \] Die Matrix \(B\) ist regulär, da die Basisvektoren linear unabhängig sind und den ganzen \(\mathbb{R}^n\) aufspannen. Die Standardbasis des \(\mathbb{R}^n\) besteht aus den Vektoren \(e_i\) mit \(1\) an der \(i\)-ten Stelle und sonst Nullen. Bezüglich der Standardbasis sind die Koordinaten eines Vektors \(x\) die Einträge vom \(x\), also \(x = \sum_{i=1}^n x_i e_i.\) Die Matrix der Standardbasisvektoren ist die Einheitsmatrix \(I\), und es gilt \(x = Ix\). Beispiel für \(n=2\): \(x = x_1 e_1 + x_2 e_2 = x_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix}.\)

Wenn man Vektoren mittels zwei verschiedenen Basen beschreibt, spricht man von einer Koordinatentransformation: \[ x = Bc = \tilde{B}\tilde{c} \] Durch Multiplikation der letzten Gleichung mit der inversen Matrix \(B^{-1}\) bzw. \(\tilde{B}^{-1}\) erhalten wir Formeln für die Umrechnung der Koordinaten: \(c = B^{-1}\tilde{B}\tilde{c}\) und \(\tilde{c} = \tilde{B}^{-1}Bc.\)

Oft ist es sinnvoll, eine Basis zu wählen, die dem betrachteten Problem angepasst ist, siehe Kapitel Eigenwerte und -vektoren. Wir betrachten eine lineare Abbildung \(y = Ax\) und stellen \(x\) und \(y\) in anderen Basen dar: \(x = Bc\) und \(y = Cd\). Dann erhält man durch Einsetzen: \[ Cd = ABc \iff d = C^{-1}ABc. \] Bezüglich den Koordinaten \(c\) und \(d\) ist die Abbildung also durch die Matrix \(C^{-1}AB\) gegeben.

Darstellung des Outputs

Der Outputvektor \(Ax\) einer linearen Abbildung \(A\) kann als Linearkombination der Spalten von \(A\) dargestellt werden. Die Spalten von \(A\) sind die Bilder der Standardbasisvektoren \(e_i\). Beispiel: \(Ax = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} = x_1\begin{pmatrix} 1 \\ 3\end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix}.\)
Der Outputvektor \(Ax\) einer linearen Abbildung \(A\) kann auch als Spaltenvektor der durch die Zeilenvektoren von \(A\) definierten linearen Abbildungen dargestellt werden. Beispiel: \(Ax = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1x_1 + 2x_2 \\ 3x_1 + 4x_2\end{pmatrix}.\)

Wenn man den Output von mehreren Inputvektoren unter einmal berechnen möchte, schreibt man die Inputvektoren als Spalten in eine Matrix \(X\) und erhält den Output als \(AX\). Die Spalten von \(AX\) sind die Bilder der Spalten von \(X\).

Hintereinanderausführung

Wenn \(f(x) = Ax\) und \(g(y) = By\), dann entspricht der Hintereinanderausführung der linearen Abbildungen \(g\circ f\) das Matrixprodukt \(BA\), also \(g(f(x)) = BAx\).

Beispiel: Drehen eines Punktes der Ebene zuerst um den Winkel \(\alpha\) und anschließend Spiegeln an der 1-Achse entspricht dem Matrixprodukt \(SR\). Achtung: Die andere Reihenfolge liefert nicht dasselbe!

Bild, Kern, Rangsatz und LGS

Ein LGS \(Ax = b\) kann mithilfe der linearen Abbildung \(A\) so interpretiert werden: Gesucht werden alle Inputvektoren \(x\), die via \(A\) auf den Outputvektor \(b\) abgebildet werden.

Die Menge der Outputvektoren einer linearen Abbildung mit \(m\times n\)-Matrix \(A\) heißt Bild (engl. image, range) von \(A\) und wird mit \(\text{im}(A)\) bezeichnet. Die Dimension des Bildes ist der Rang der Matrix \(A\): \[ \text{rank}(A) = \text{dim}(\text{im}(A)) \] Ein LGS ist genau dann lösbar, wenn \(b\) im Bild von \(A\) liegt. Die Lösungsmenge des LGS \(Ax = b\) ist dann die Menge aller Inputvektoren \(x\), die auf \(b\) abgebildet werden. Wenn der Rang von \(A\) gleich der Dimension \(m\) des Outputraums ist, dann ist das Bild von \(A\) der ganze Outputraum, und das LGS hat für jeden Outputvektor \(b\) eine Lösung.

Die Menge der Inputvektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden, ist die Lösungsmenge des homogenen LGS \(Ax = 0\) und heißt Kern oder Nullraum (engl. null space) der Matrix \(A\) und wird mit \(\text{ker}(A)\) bezeichnet. Falls ein LGS \(Ax = b\) eine Lösung \(x_0\) hat, kann man zu \(x_0\) jeden Vektor \(x_h\) des Nullraums addieren und erhält wieder eine Lösung, denn \(A(x_0 + x_h) = Ax_0 + Ax_h = b + 0 = b\). Die Lösung eines LGS ist also genau dann eindeutig, wenn der Nullraum nur den Nullvektor enthält. Der Nullvektor ist immer enthalten.

Der Rangsatz besagt, dass für jede \(m\times n\)-Matrix die Dimension des Nullraums plus die Dimension des Bilds gleich die Dimension \(n\) des Inputraums ist: \[ \text{dim}(\text{ker}(A)) + \text{dim}(\text{im}(A)) = n. \] Der Rangsatz kann als Erhaltung der Dimensionen/Freiheitsgrade interpretiert werden: Die Dimension des Inputraums wird auf die Dimension des Bildes und des Nullraums aufgeteilt. Wenn der Rang von \(A\) gleich der Dimension \(n\) des Inputraums ist, also \(\text{dim}(\text{im}(A)) = n\), dann ist wegen des Rangsatzes der Nullraum \(0\)-dimensional und besteht daher nur aus dem Nullvektor. Daher ist eine Lösung des LGS unter diesen Umständen eindeutig.

Orthogonale Matrizen

Eine orthogonale Matrix \(A\) ist eine quadratische Matrix, für die \(A^T A = A A^T = I\) gilt. Die Spaltenvektoren sind orthonormal, d. h. sie sind paarweise orthogonal und haben alle die Länge 1.

Die inverse Matrix einer orthogonalen Matrix ist gleich ihrer Transponierten und wieder orthogonal: \(A^{-1} = A^T\), \((A^{-1})^T A^{-1} = (A^T)^{-1} A^{-1} = (A A^T)^{-1} = I\), analog für \(A^{-1} (A^{-1})^T\).
Die Determinante einer orthogonalen Matrix ist entweder \(1\) oder \(-1\), denn aus \(A^T A = I\) folgt \(\det(A^T A) = \det(A^T)\det(A) = \det(A)^2 = \det(I) = 1\).
Orthogonale Matrizen beschreiben Drehungen (\(\det(A)=1\)) und Drehspiegelungen (\(\det(A)=-1\)), siehe den Abschnitt Lineare Abbildungen.

Python

Die Beispiele und Aufgaben verwenden folgende Python-Bibliotheken, siehe Kapitel Python Tutorial:

Code

import numpy as np
import scipy as sp
import matplotlib.pyplot as plt

Die zentralen Python-Funktionen sind:

Für die Matrixmultiplikation kann der Operator @ verwendet werden
Die Matrixtransponierte kann mit der Methode .T erzeugt werden.
np.zeros erzeugt Nullmatrizen
np.eye erzeugt die Einheitsmatrizen
np.ones Matrizen mit lauter Einsen als Einträgen.
np.diag zum Extrahieren der Diagonale einer Matrix und zum Erzeugen einer Diagonalmatrix
np.linalg.det(A): Gibt die Determinante der Matrix \(A\) zurück.
np.linalg.inv berechnet die inverse Matrix.
sp.linalg.null_space(A) berechnet eine Orthonormalbasis des Nullraums (Kerns) der Matrix \(A\). Die Spalten der zurückgegebenen Matrix sind die Orthonormalbasisvektoren.
sp.linalg.orth(A) berechnet eine Orthonormalbasis des Bildes der Matrix \(A\). Die Spalten der zurückgegebenen Matrix sind die Orthonormalbasisvektoren.

Beispiele

Drehung

Drehen eines Vektors, der als Pfeil interpretiert wird:

Code

alpha = np.pi/4  # 45°
R = np.array([[np.cos(alpha), -np.sin(alpha)],
              [np.sin(alpha),  np.cos(alpha)]])
x = np.array([1, 1])
y = R@x

plt.figure(figsize=(4,4))
plt.arrow(0, 0, x[0], x[1], head_width=.1, color='green')
plt.arrow(0, 0, y[0], y[1], head_width=.1, color='blue')
plt.xlim(-1, 2)
plt.ylim(-1, 2)
plt.grid(True)

Drehen vieler Vektoren, die als Punkte interpretiert werden:

Code

# Matrix der Eckpunkte einer Fläche, Eckpunkte als Spaltenvektoren der Matrix:
ecken_orig = np.array([[0, 1, 2, 1,-1],
                       [0,-1, 1, 2, 2]])
ecken_dreh = R@ecken_orig

fig = plt.figure(figsize=(4, 4))
ax = fig.add_subplot()
ax.add_patch(plt.Polygon(ecken_orig.T, closed=True, color='green', alpha=0.3))
ax.add_patch(plt.Polygon(ecken_dreh.T, closed=True, color='blue', alpha=0.3))
plt.xlim(-2, 3)
plt.ylim(-2, 3)
plt.grid(True)

Darstellung in einer Basis

Wir wollen den Vektor \(v = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\-1 \end{pmatrix}\) in der Basis \(b_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(b_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(b_3 = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) darstellen. Dazu lösen wir das LGS \(Bc = v\) mit der Basismatrix \(B = \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \end{pmatrix}\):

Code

v = np.array([[ 2],
              [ 3],
              [-1]])
B = np.array([[-1,  2,  4],
              [ 3,  1, -2],
              [ 2,  5,  1]])
# Check der Basiseigenschaft: B ist regulär <=> det(B) not 0 <=> Rang von B = 3
print("Rang von B  =", np.linalg.matrix_rank(B))
print("Determinante von B =", np.linalg.det(B))

c = np.linalg.solve(B, v)
print("Koordinaten von v in Basis B: c= \n", c)

Rang von B  = 3
Determinante von B = 27.0
Koordinaten von v in Basis B: c= 
 [[ 3.11111111]
 [-1.88888889]
 [ 2.22222222]]

LGS und Nullraum

Nicht-quadratisches, homogenes LGS mit unendlich vielen Lösungen:

Code

A = np.array([[ 1,-3, 1],
              [-2, 0, 5]])
b = np.array([[0],
              [0]])
Ab = np.hstack((A, b))
print("Rang von A  =", np.linalg.matrix_rank(A))
print("Rang von Ab =", np.linalg.matrix_rank(Ab))
print("Anzahl der Variablen =", np.shape(A)[1])
print("Daher: unendlich viele Lösungen.")

# Der Nullvektor ist die triviale Lsg.
x = np.zeros((3, 1))
print("Ax =\n", A@x)

# Alle Lösungen = Nullraum N:
N = sp.linalg.null_space(A)
# Check, dass die Spalten von N mit A multipliziert Null ergeben:
print("AN =\n", A@N)

Rang von A  = 2
Rang von Ab = 2
Anzahl der Variablen = 3
Daher: unendlich viele Lösungen.
Ax =
 [[0.]
 [0.]]
AN =
 [[3.33066907e-16]
 [4.44089210e-16]]

Quadr. LGS mit eindeutiger Lsg.

Wir betrachten das quadratische LGS \[ \begin{aligned} x_1 - x_2 & = 1 \\ 2x_1 + 3x_2 & = -3 \end{aligned} \] Determinante der Koeffizientenmatrix ist nicht Null, daher gibt es eine eindeutige Lösung, die solve und die Multiplikation mit der inversen Matrix liefert:

Code

A = np.array([[ 1,-1],
              [ 2, 3]])
b = np.array([[ 1],
              [-3]]) 
print(f"Determinante von A = {np.linalg.det(A):.2f}")
print("Daher: genau eine Lösung.")
print("Rückgabe von solve(A, b):\n", np.linalg.solve(A, b))
print("Rückgabe von inv(A):\n", np.linalg.inv(A))
print("Rückgabe von inv(A)@b:\n", np.linalg.inv(A)@b)

Determinante von A = 5.00
Daher: genau eine Lösung.
Rückgabe von solve(A, b):
 [[ 0.]
 [-1.]]
Rückgabe von inv(A):
 [[ 0.6  0.2]
 [-0.4  0.2]]
Rückgabe von inv(A)@b:
 [[ 2.22044605e-16]
 [-1.00000000e+00]]

Quadr. LGS ohne Lsg.

Wir betrachten das quadratische LGS \[ \begin{aligned} x_1 - 2x_2 & = 1 \\ -2x_1 + 4x_2 & = 3 \end{aligned} \] Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist Null, daher gibt es keine oder unendlich viele Lösungen. Der Befehl solve liefert die Fehlermeldung LinAlgError: Singular matrix.

Code

A = np.array([[ 1, -2],
              [-2,  4]])
b = np.array([[ 1],
              [-3]]) 
print("Determinante von A =", np.linalg.det(A))
print("Daher: keine oder unendlich viele Lösungen.")
# print("Rückgabe von solve(A,b):\n", np.linalg.solve(A,b)) # -> LinAlgError: Singular matrix

Determinante von A = 0.0
Daher: keine oder unendlich viele Lösungen.

Um in Python zu bestimmen, ob das LGS keine oder unendlich viele Lösungen hat, bestimmen wir den Rang der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Koeffizientenmatrix:

Code

print("Rang von A  =", np.linalg.matrix_rank(A))
Ab = np.hstack((A, b))
print("Rang von Ab =", np.linalg.matrix_rank(Ab))

Rang von A  = 1
Rang von Ab = 2

Das LGS hat also keine Lösung.

Aufgaben

Verständnisfragen und kurze Aufgaben

Geben Sie ein Zahlenbeispiel für ein Matrixprodukt \(AB\), für das \(BA\) nicht dasselbe Ergebnis liefert, also \(AB \neq BA\).
Es seien \(v\) und \(w\) zwei Spaltenvektoren aus \(\mathbb{R}^n\). Welche der folgenden Ausdrücke liefern dasselbe, welche nicht? \(v^T w\), \(v w^T\), \(w^Tv\), \(w v^T\)
Ist eine Verschiebung in der Ebene, d. h. jedem Punkt \(x\) der Ebene wird sein um einen fixen Verschiebungsvektor verschobener Punkt zugeordnet, linear, also als \(Ax\) darstellbar? Begründen Sie Ihre Antwort.
Wie bestimmen Sie, ob ein quadratisches lineares Gleichungssystem keine, eine oder unendlich viele Lösungen hat?
Wie lautet die Rotationsmatrix einer Vektorrotation bei gegebenem Winkel \(\alpha\)?
Die Rotationsmatrix \(R = \begin{pmatrix} -0.707 & -0.707 \\ 0.707 & -0.707 \end{pmatrix}\) wird auf den Vektor \(v = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) angewendet. Wie lautet der resultierende Vektor?
Wie können Sie zeigen, dass für die Matrix \(\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 8 & 16 \end{pmatrix}\) eine inverse Matrix existiert? Berechnen Sie ggf. die inverse Matrix.
Was ist die Determinante einer Matrix, und wozu kann man sie verwenden?

Ergebnisse:

Zum Beispiel \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)
\(v^T w\) und \(w^T v\) liefern dasselbe Ergebnis, nämlich einen Zahl. \(v w^T\) und \(w v^T\) liefern dasselbe Ergebnis, aber eine Matrix.
Nein, da die Verschiebung des Nullvektors nicht der Nullvektor ist. Eine lineare Abbildung bildet den Nullvektor aber immer auf den Nullvektor ab.
Siehe Lösungsstruktur quadratischer LGS und Lösungsstruktur Teil 2.
\(\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}\)
\(Rv = \begin{pmatrix} -0.707 & -0.707 \\ 0.707 & -0.707 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2.828 \\ 0 \end{pmatrix}\)
\(\det(A) = 16 - 32 = -16 \neq 0\), daher existiert die inverse Matrix. \(A^{-1} = \frac{1}{-16}\begin{pmatrix} 16 & -4 \\ -8 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0.25 \\ 0.5 & -0.0625 \end{pmatrix}\)
Die Determinante einer quadratischen Matrix \(A\) ist eine Zahl, die die Fallunterscheidung in der Lösungsstruktur des quadratischen LGS \(Ax = b\) ermöglicht. Siehe Determinante.

Vektorrechnung als Matrizenrechnung

Stellen Sie in Python die Vektoren \(a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(c = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -1 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\) als Spaltenvektoren dar, und berechnen Sie folgende Ausdrücke mittels der Matrizenrechnung:

\(a + 2b - c\)
Summe der inneren Produkte \(a \cdot b + a \cdot c\) als \(a^T b + a^T c\)
Das innere Produkt \(a \cdot a\) als \(a^T a\)
\(\lVert a \rVert\) als \(\sqrt{a^T a}\)

Berechnen Sie mittels der Matrizenrechnung den Winkel zwischen den Spaltenvektoren \(a = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(b = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\).

Vergleichen Sie die Ergebnisse mit jenen der Aufgaben Vektoroperationen, Inneres Produkt und Norm und Winkel zwischen Vektoren aus dem Abschnitt Vektorrechnung.

Ergebnis:

\(a + 2b - c = (4, 5, -1, 6, 5)^T\)
\(a^T b + a^T c = 58\)
\(a^T a = 43\)
\(\lVert a \rVert \simeq 6.56\)
\(\phi \simeq 2.03\) rad \(\simeq 116.57\)°

Matrixmultiplikation

Gegeben sind die Matrizen \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ -1 & 5 & 1 \end{pmatrix}, \text{ und } C = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 3\\ 2 & 5 & 1\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \] Berechnen Sie von Hand und mit Python \(ABC\).

Ergebnis: \(ABC = \begin{pmatrix} 13 & 82 & 37 \\ 59 & 169 & 35 \end{pmatrix}\)

Rechnen mit Matrizen

Gegeben sind folgende zwei Matrizen und ein Vektor: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -5 & 4 \\ 4 & -3 & 8 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}\text{ und } c = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \] Berechnen Sie folgende Ausdrücke per Hand und überprüfen Sie die Ergebnisse mittels Python:

\(AB\)
\(BA\)
\(B^T A\)
\(c^T B\)
\(c^T B (BB^T + A)c\)

Ergebnisse: \(AB = \begin{pmatrix} 10 & 15 \\ 12 & 8 \\ 28 & 52 \end{pmatrix}\), \(BA\) ist nicht wohldefiniert, \(B^T A = \begin{pmatrix} 13 & -11 & 27 \\ 30 & -45 & 78 \end{pmatrix}\), \(c^T B = \begin{pmatrix} 10 & 31 \end{pmatrix}\), \(c^T(BB^T + A)c = 1137\)

Adjazenz-Matrix

Eine Fluglinie fliegt fünf verschiedene Stationen an. Die möglichen Verbindungen sind nachfolgend dargestellt.

Erstellen Sie in Python die Adjazenz-Matrix \(C\) für die Fluglinie. Dabei gilt \[ C_{ij} = \begin{cases} 1 \text{ wenn es einen Direktflug von i nach j gibt} \\ 0 \text{ sonst} \end{cases} \] Um zu bestimmen, wie viele mögliche Flugrouten es zwischen 2 Stationen gibt, kann die Matrixpotenz, also \(C^k = C \cdot C \cdot \ldots\) verwendet werden, siehe z. B. Wikipedia. Das heißt, die Anzahl der möglichen Flugrouten mit genau einem Umstieg zwischen zwei beliebigen Stationen sind die Einträge in der Matrix \(C^2\).

Bestimmen Sie in Python die Anzahl der Flugrouten zwischen zwei beliebigen Stationen mit (a) genau einem Umstieg und (b) mit genau zwei Umstiegen. (c) Wie viele Routen gibt es vom Startort A zum Zielort B mit maximal zwei Umstiegen?

Ergebnis: (a) \(C^2\), (b) \(C^3\), (c) entsprechendes Element aus \(C + C^2 + C^3\)

Matrixgleichung

Gegeben sind die Matrizen \(A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) und \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}\). Bestimmen Sie in Python die Matrix \(X\), die die Bedingung \(X = AX + B\) erfüllt, falls es eine solche Matrix gibt.

Ergebnis: \(X = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}\)

Konturlinien einer linearen Abbildung

Zeichnen Sie von Hand die Konturlinien (Höhenlinien, Isolinien) der linearen Abbildung \(f(x) = a^T x\) für den Vektor \(a = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\).

Ergebnis: Die Konturlinien sind Geraden, die durch den Nullpunkt gehen und den Vektor \(a\) als Normalenvektor haben.

Darstellung in einer Basis

Gegeben ist der Vektor \(v = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und die Basis \(B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\).

Zeichnen Sie die Basisvektoren \(b_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(b_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) in ein Koordinatensystem.
Zeigen Sie, dass \(B\) eine Basis ist.
Stellen Sie \(v\) in der Basis \(B\) dar, indem Sie von Hand und am Computer ein entsprechendes LGS lösen.

Ergebnis: Die Basisvektoren sind linear unabhängig und spannen den \(\mathbb{R}^2\) auf. \(v = Bc = 2\cdot b_1 - 1\cdot b_2\)

Projektion

Bestimmen Sie die orthogonale Projektion des Punktes \(a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) auf die Gerade, die vom Vektor \(v = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) aufgespannt wird.

Zeichnen Sie die Gerade und den Punkt \(a\) in ein Koordinatensystem, und schätzen Sie die Projektion ab.
Bestimmen Sie die Projektion rechnerisch von Hand und am Computer.

Ergebnis: Die Projektion von \(a\) auf die von \(v\) aufgespannte Gerade ist \(\begin{pmatrix} -0.6 \\ 0.8 \end{pmatrix}\).

PV-Ertrag

Die ebenen Module einer Photovoltaikanlage werden so ausgerichtet, dass sie eine Normalvektor \(n = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ 7 \end{pmatrix}\) haben. Die Sonne strahlt entlang des Vektors \(s = \begin{pmatrix} -10 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}\). Die Länge des Vektors \(s\) gibt die Intensität der Sonneneinstrahlung in \(\frac{\text{kW}}{\text{m}^2}\) an. Wie viel der Strahlungsleistung wird von den Modulen pro Quadratmeter aufgenommen? Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben am Computer:

Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix der orthogonalen Projektion auf die von \(n\) aufgespannte Gerade. Berechnen Sie damit die orthogonale Projektion des Vektors \(s\) auf diese Gerade. Bestimmen Sie nun den Anteil der Strahlungsleistung, die von den Modulen aufgenommen wird, indem Sie das Verhältnis der Längen der Projektion von \(s\) und des Vektors \(s\) berechnen.
Berechnen Sie den Winkel \(\phi\) zwischen \(n\) und \(s\), und bestimmen Sie den Kosinus des Winkels. Klären Sie den Zusammenhang zwischen dem Kosinus des Winkels und dem Anteil der Strahlungsleistung, die von den Modulen aufgenommen wird.

Ergebnis: Der Anteil der Strahlungsleistung, die von den Modulen aufgenommen wird, ist ca. \(0.8058 = 80.58\ \%\).

Bild, Kern und Rangsatz

Sei \(P\) die Abbildungsmatrix der orthogonalen Projektion auf eine Gerade durch den Ursprung im Raum. Welche Dimensionen hat das Bild und der Kern von \(P\)? Überprüfen Sie den Rangsatz. Überprüfen Sie Ihr allgemeines Ergebnis an einem Beispiel in Python.
Wiederholen Sie die Aufgabe für die orthogonale Projektion auf eine Ebene durch den Ursprung im Raum.

Ergebnis:

Der Kern von \(P\) ist die Ebene senkrecht zur Geraden, das Bild ist die Gerade. Rangsatz: \(\text{dim}(\text{ker}(P)) + \text{dim}(\text{im}(P)) = 2 + 1 = \text{dim}(\mathbb{R}^3) = 3\).
Der Kern von \(P\) ist die Gerade senkrecht zur Ebene, das Bild ist die Ebene. Rangsatz: \(\text{dim}(\text{ker}(P)) + \text{dim}(\text{im}(P)) = 1 + 2 = \text{dim}(\mathbb{R}^3) = 3\).

Determinanten

Berechnen Sie mit dem Multiplikationstheorem für Determinanten \(\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)\) die Determinante des Matrizenproduktes \(C = A \cdot B\) von Hand und am Computer für \[ A = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 9\\ 7 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3\\ 2 & 5 & 9\\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix}. \]

Ergebnis: \(\det(A) \cdot \det(B) = 68 \cdot 83 = 5644\)

Inverse Matrix

Zeigen Sie von Hand, dass \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0.5 & 3 \end{pmatrix}\) eine reguläre Matrix ist, und bestimmen Sie von Hand die inverse Matrix \(A^{-1}\). Überprüfen Sie das Ergebnis, indem Sie \(A A^{-1}\) und \(A^{-1} A\) berechnen.

Ergebnis: \(\det(A) = 2 \neq 0\), \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 1.5 & -1 \\ -0.25 & 0.5 \end{pmatrix}\)

Quadratisches LGS

Wir betrachten das folgende quadratische LGS: \[ \begin{aligned} 2x_1 - 5x_2 + 8x_3 & = 0 \\ -2x_1 - 7x_2 + x_3 & = 0 \\ 4x_1 + 2x_2 + 7x_3 & = 0 \end{aligned} \] Bestimmen Sie in Python die Lösungsstruktur des LGS, d. h. ob es keine, eine oder unendlich viele Lösungen hat.

Ergebnis: Das LGS hat unendlich viele Lösungen.

Inverse einer 2x2 Matrix

Überprüfen Sie, dass die Inverse einer 2x2 Matrix \(A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\) durch folgende Formel gegeben ist: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \text{ mit } \det(A) = ad - cb. \]
Benutzen Sie diese Formel, um von Hand die Inverse der Matrix \(A = \begin{pmatrix} 0.5 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) zu bestimmen. Beschreiben Sie die Abbildung \(f(x) = Ax\) in Worten.

Ergebnis:

Berechne \(A^{-1}A\) und \(AA^{-1}\).
\(A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\). Sie Abbildung \(A\) staucht in \(x_1\)-Richtung um Faktor 2 und streckt in \(x_2\)-Richtung um Faktor 3.

Rotationen in der Ebene

Betrachten Sie die Rotationsmatrix \[ R(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}. \]

Welche Rotation beschreibt die Abbildung \(f(x) = Rx\)?
Zeigen Sie von Hand, dass \(R^T R = I\) gilt, und berechnen Sie \(\det(R)\) sowie \(R^{-1}\).

Ergebnisse:

Rotation um den Winkel \(\alpha\) gegen den Uhrzeigersinn um den Koordinatenursprung.
\(R(\alpha)^{-1} = R(-\alpha) = R(\alpha)^T\).

Existenz und Eindeutigkeit

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem: \[ \begin{aligned} 2x_1 - 4x_2 - 2x_3 & = b_1 \\ -5x_1 + x_2 + x_3 & = b_2 \\ 7x_1 - 5x_2 - 3x_3 & = b_3 \end{aligned} \] Bestimmen Sie von Hand und am Computer mittels der Determinante der Koeffizientenmatrix, ob das lineare Gleichungssystem für alle Vektoren \(b\) eine eindeutige Lösung hat.

Ergebnis: Das LGS hat nicht für alle Vektoren \(b\) eine eindeutige Lösung.

Existenz und Eindeutigkeit einer Lsg.

Bestimmen Sie von Hand, ohne das folgende, quadratische LGS zu lösen, ob es eindeutig lösbar ist. \[ \begin{pmatrix} -10 & 3 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3.5 \\ 9.2 \end{pmatrix} \]

Ergebnis: Das LGS hat eine eindeutige Lösung.

Orthogonale Matrizen

Zeigen Sie von Hand, dass die Matrix \(A = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\) orthogonal ist, d. h. dass \(A^T = A^{-1}\) gilt.

Ergebnis: \(A^T A\) und \(A A^T\) ergeben jeweils die Einheitsmatrix.

Leontief Modell

Nehmen Sie an, ein Staat ist Standort für drei verschiedene Industriesektoren: Chemische Industrie, Nahrungsmittelindustrie und Ölindustrie. Die Produktion einer Einheit Chemikalien benötigt 0.2 Einheiten von Chemikalien, 0.4 Einheiten Nahrungsmittel und 0.5 Einheiten Öl. Diese Größen werden in die erste Spalte der Verbrauchsmatrix \(A\) ein, die den Verbrauch während der Produktion wiedergibt: \[ \begin{pmatrix} \text{Chemie Verbrauch} \\ \text{Nahrungsmittel Verbrauch} \\ \text{Öl Verbrauch} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.3 & 0.4 \\ 0.4 & 0.4 & 0.1 \\ 0.5 & 0.1 & 0.3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{Chemische Produktion} \\ \text{Nahrungsmittel Produktion} \\ \text{Öl Produktion} \end{pmatrix} \]

Bemerkung: Die Verbrauchsmatrix der USA im Jahr 1958 enthielt 83 industrielle Sektoren, heutige Modelle sind bei weitem umfangreicher.

Es stellt sich die Frage, ob die so beschriebene Volkswirtschaft einen Bedarf \(d = \begin{pmatrix} d_1\\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix}\) für chemische Produkte, Nahrungsmittel und Öl decken kann? Dazu muss neben dem Produktionsplan \(p = \begin{pmatrix} p_1\\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix}\) der Verbrauch \(Ap\) während der Produktion berücksichtigt werden. Die Netto-Produktion von \(p - Ap\) soll daher den Bedarf \(d\) decken. Damit gilt es für einen gegebenen Bedarf \(d\) einen Produktionsplan \(p\) zu finden, so dass folgendes erfüllt ist: \[ \begin{aligned} p - Ap =& d \text{ bzw. }\\ p =& (I - A)^{-1}d \end{aligned} \] Der Bedarfsvektor \(d\) und die Verbrauchsmatrix \(A\) dürfen keine negativen Einträge haben, um wirtschaftlich sinnvoll interpretiert werden zu können. Ebenso der Produktionsplan \(p = (I - A)^{-1}d\). Daher lautet die Frage: Wann ist \((I - A)^{-1}\) eine nicht-negative Matrix, d. h. jeder der Einträge ist nicht-negativ.

Berechnen Sie mit Python den Produktionsplan für den Bedarf \(d = \begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). Benutzen Sie dazu den Befehl solve.
Berechnen Sie mit dem Python-Befehl inv den Ausdruck \((I - A)^{-1}\). Ist die Matrix nicht-negativ?
Ändern Sie die Verbrauchsmatrix \(A\) zu einer nicht-negativen Verbrauchsmatrix \(B\), die den Bedarf nicht decken kann.

Bemerkung: Die Matrix \(I - A\) wird Technologiematrix genannt. Sie führt einen Produktionsplan in einen Vektor über, der angibt, welcher Bedarf erfüllt werden kann.

Ergebnisse:

\(p = \begin{pmatrix} 31.72 \\ 29.68 \\ 31.18 \end{pmatrix}\)
Ja.
Zum Beispiel \(B = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.9 & 0.4 \\ 0.4 & 0.4 & 0.1 \\ 0.5 & 0.1 & 0.3 \end{pmatrix}\)